Faça um esboço do gráfico de
determinando primeiro: os extremos relativos de
os pontos de inflexão do gráfico de
; os intervalos nos quais
é crescente e decrescente; onde o gráfico é côncavo para cima e onde é côncavo para baixo e é útil determinar a inclinação da reta tangente nos pontos de inflexão .
Passo 1
O enunciado dá
e pede:
– extremos relativos de ;
– pontos de inflexão do gráfico de ;
– intervalos nos quais é crescente/decrescente;
– onde o gráfico é côncavo para cima/para baixo;
– inclinação da reta tangente nos pontos de inflexão;
– um esboço do gráfico.
Vamos usar derivadas primeira e segunda para atender a cada item.
– extremos relativos de
– pontos de inflexão do gráfico de
– intervalos nos quais
– onde o gráfico é côncavo para cima/para baixo;
– inclinação da reta tangente nos pontos de inflexão;
– um esboço do gráfico.
Vamos usar derivadas primeira e segunda para atender a cada item.
Passo 2
Reescrevendo
e aplicando a regra do produto, obtemos
Passo 3
Como
para todo
, segue que
Logo
é estritamente crescente em
e não possui extremos relativos.
Passo 4
Derivamos de novo para obter a concavidade:
Passo 5
Ponto de inflexão ocorre onde
, isto é, em
.
Para temos
(côncavo para cima)
e para temos
(côncavo para baixo).
Para
e para
Passo 6
Em
,
A reta tangente no ponto de inflexão
é
Passo 7
Como
e
, há assíntotas horizontais
O gráfico parte de
, cresce atravessando
com concavidade para cima, depois muda para concavidade para baixo e se aproxima de
.
Passo 8
Com todas essas informações, esboçamos uma curva lisa e monótona que:
– cresce de a
;
– é côncava para cima em ;
– é côncava para baixo em ;
– toca o ponto de inflexão em com reta tangente
;
– aproxima-se das horizontais .
– cresce de
– é côncava para cima em
– é côncava para baixo em
– toca o ponto de inflexão em
– aproxima-se das horizontais
Resposta
– Não há extremos relativos.
– Ponto de inflexão em (valor
).
– é crescente em
, sem intervalos de decrescimento.
– é côncava para cima em
e côncava para baixo em
.
– Reta tangente no ponto de inflexão: .
– Assíntotas horizontais: e
.
– Esboço: curva monótona crescendo de a
, com formato tipo “S”, cruzando a origem e decorando-se conforme a concavidade descrita.
– Ponto de inflexão em
–
–
– Reta tangente no ponto de inflexão:
– Assíntotas horizontais:
– Esboço: curva monótona crescendo de