Faça um esboço do gráfico de f determinando primeiro: os extremos relativos de f ; os pontos de inflexão do gráfico de f; os intervalos nos quais f é crescente e decrescente; onde o gráfico é côncavo para cima e onde é côncavo para baixo e é útil determinar a inclinação da reta tangente nos pontos de inflexão .
f(x)=\frac{x}{\sqrt{x^{2}+1}}

Passo 1

O enunciado dá
f(x)=\frac{x}{\sqrt{x^2+1}}
e pede:
– extremos relativos de f;
– pontos de inflexão do gráfico de f;
– intervalos nos quais f é crescente/decrescente;
– onde o gráfico é côncavo para cima/para baixo;
– inclinação da reta tangente nos pontos de inflexão;
– um esboço do gráfico.
Vamos usar derivadas primeira e segunda para atender a cada item.

Passo 2

Reescrevendo
f(x)=x\,(x^2+1)^{-\tfrac12}
e aplicando a regra do produto, obtemos
f'(x)=1\cdot(x^2+1)^{-\tfrac12} + x\cdot\Bigl(-\tfrac12\Bigr)(x^2+1)^{-\tfrac32}\cdot2x =\frac{x^2+1 - x^2}{(x^2+1)^{3/2}} =\frac1{(x^2+1)^{3/2}}.

Passo 3

Como (x^2+1)^{3/2}>0 para todo x, segue que
f'(x)>0\quad\forall\,x\in\mathbb{R}.
Logo f é estritamente crescente em (-\infty,\infty) e não possui extremos relativos.

Passo 4

Derivamos de novo para obter a concavidade:
f''(x) =\frac{d}{dx}\bigl[(x^2+1)^{-3/2}\bigr] =-\tfrac32\,(x^2+1)^{-5/2}\cdot2x =-\frac{3x}{(x^2+1)^{5/2}}.

Passo 5

Ponto de inflexão ocorre onde f''(x)=0, isto é, em x=0.
Para x<0 temos f''(x)>0 (côncavo para cima)
e para x>0 temos f''(x)<0 (côncavo para baixo).

Passo 6

Em x=0,
f'(0)=\frac1{(0^2+1)^{3/2}}=1, \quad f(0)=0.
A reta tangente no ponto de inflexão (0,0) é
y = f'(0)\,(x-0)+f(0)\quad\Longrightarrow\quad y=x.

Passo 7

Como \lim_{x\to+\infty}f(x)=1 e \lim_{x\to-\infty}f(x)=-1, há assíntotas horizontais
y=1 \quad\text{e}\quad y=-1.
O gráfico parte de y\approx-1, cresce atravessando (0,0) com concavidade para cima, depois muda para concavidade para baixo e se aproxima de y=1.

Passo 8

Com todas essas informações, esboçamos uma curva lisa e monótona que:
– cresce de (-\infty,-1) a (+\infty,1);
– é côncava para cima em x<0;
– é côncava para baixo em x>0;
– toca o ponto de inflexão em (0,0) com reta tangente y=x;
– aproxima-se das horizontais y=\pm1.

Resposta

– Não há extremos relativos.
– Ponto de inflexão em x=0 (valor f(0)=0).
f é crescente em \mathbb{R}, sem intervalos de decrescimento.
f é côncava para cima em (-\infty,0) e côncava para baixo em (0,\infty).
– Reta tangente no ponto de inflexão: y=x.
– Assíntotas horizontais: y=-1 e y=1.
– Esboço: curva monótona crescendo de -1 a 1, com formato tipo “S”, cruzando a origem e decorando-se conforme a concavidade descrita.

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