Calcule.
\int_{0}^{2}\left(t^{2}+3 t-1\right) d t

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral definida de um polinômio
\int_{0}^{2}\bigl(t^{2}+3t-1\bigr)\,dt.
O conteúdo aqui é a aplicação da regra de potência termo a termo e do Teorema Fundamental do Cálculo.

Passo 2

Integramos cada termo separadamente usando a regra \int t^{n}dt = t^{n+1}/(n+1):
\int t^{2}dt = \frac{t^{3}}{3},\quad \int 3t\,dt = \frac{3\,t^{2}}{2},\quad \int (-1)\,dt = -\,t.
Logo, uma antiderivada é
F(t) = \frac{t^{3}}{3} + \frac{3\,t^{2}}{2} - t.

Passo 3

Pelo Teorema Fundamental do Cálculo,
\int_{0}^{2}\bigl(t^{2}+3t-1\bigr)\,dt = F(2) - F(0).
Calculando:
F(2) = \frac{2^{3}}{3} + \frac{3\cdot2^{2}}{2} - 2 = \frac{8}{3} + 6 - 2 = \frac{8}{3} + 4 = \frac{20}{3},
e
F(0) = 0.

Passo 4

Substituindo, obtemos
\int_{0}^{2}\bigl(t^{2}+3t-1\bigr)\,dt = \frac{20}{3}.

Resposta

\frac{20}{3}

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