Volume
de um sólido de revolução versus área
da região (rotada num eixo) geradora deste sólido.
(a) Dentro do contexto de integrais impróprias, construíremos um exemplo de área (geradora do sólido de revolução) divergente e volume do sólido convergente. Considere a região sob a curva
, para
. Mostre que
(1) a área sob esta curva é divergente (infinita)
(b) Construíremos também um exemplo de área convergente e volume divergente. Considere a região sob a curva
, para
. Mostre que
(1) a área sob esta curva é convergente
(2) mas o volume do sólido de revolução obtido pela rotação desta região em torno do eixo
é divergente (infinito)
(2) mas o volume do sólido de revolução obtido pela rotação desta região em torno do eixo
é divergente (infinito)
(a) Dentro do contexto de integrais impróprias, construíremos um exemplo de área (geradora do sólido de revolução) divergente e volume do sólido convergente. Considere a região sob a curva
(1) a área sob esta curva é divergente (infinita)
(b) Construíremos também um exemplo de área convergente e volume divergente. Considere a região sob a curva
(1) a área sob esta curva é convergente
(2) mas o volume do sólido de revolução obtido pela rotação desta região em torno do eixo
(2) mas o volume do sólido de revolução obtido pela rotação desta região em torno do eixo
Passo 1
O enunciado pede para usar integrais impróprias para comparar área de uma região plana e volume do sólido de revolução gerado por ela. No item (a) vamos mostrar que, para a curva
em
, a área é infinita. No item (b) examinamos a curva
em
: primeiro mostramos que a área sob ela é finita e depois que o volume do sólido obtido ao girar essa região em torno do eixo
é infinito.
Passo 2
Calcular a área sob
de
até
. Definimos a integral imprópria como
Portanto, a área é divergente.
Passo 3
Calcular a área sob
de
até
. Como a integral é imprópria no ponto
, escrevemos
Logo, essa área converge e vale
.
Passo 4
Calcular o volume do sólido de revolução da região sob
,
, em torno do eixo
. Pelo método dos discos:
Portanto, o volume diverge.
Resposta
(a) A área sob
,
, é infinita.
(b.1) A área sob ,
, converge e vale
.
(b.2) O volume do sólido de revolução dessa região em torno do eixo é infinito.
(b.1) A área sob
(b.2) O volume do sólido de revolução dessa região em torno do eixo