Volume V de um sólido de revolução versus área A da região (rotada num eixo) geradora deste sólido.
(a) Dentro do contexto de integrais impróprias, construíremos um exemplo de área (geradora do sólido de revolução) divergente e volume do sólido convergente. Considere a região sob a curva y=1 / x, para x \geq 1. Mostre que
(1) a área sob esta curva é divergente (infinita)
(b) Construíremos também um exemplo de área convergente e volume divergente. Considere a região sob a curva y=1 / \sqrt{x}, para 0<x \leq 1. Mostre que
(1) a área sob esta curva é convergente
(2) mas o volume do sólido de revolução obtido pela rotação desta região em torno do eixo x é divergente (infinito)
(2) mas o volume do sólido de revolução obtido pela rotação desta região em torno do eixo x é divergente (infinito)

Passo 1

O enunciado pede para usar integrais impróprias para comparar área de uma região plana e volume do sólido de revolução gerado por ela. No item (a) vamos mostrar que, para a curva y = 1/x em x\ge1, a área é infinita. No item (b) examinamos a curva y=1/\sqrt{x} em 0<x\le1: primeiro mostramos que a área sob ela é finita e depois que o volume do sólido obtido ao girar essa região em torno do eixo x é infinito.

Passo 2

Calcular a área sob y=1/x de x=1 até x\to\infty. Definimos a integral imprópria como
\int_{1}^{\infty}\frac{1}{x}\,dx =\lim_{R\to\infty}\int_{1}^{R}\frac{1}{x}\,dx =\lim_{R\to\infty}\bigl[\ln x\bigr]_{1}^{R} =\lim_{R\to\infty}\ln R =\infty.
Portanto, a área é divergente.

Passo 3

Calcular a área sob y=1/\sqrt{x} de x=0 até x=1. Como a integral é imprópria no ponto x=0, escrevemos
\int_{0}^{1}x^{-\tfrac12}\,dx =\lim_{\varepsilon\to0^+}\int_{\varepsilon}^{1}x^{-\tfrac12}\,dx =\lim_{\varepsilon\to0^+}\bigl[2\sqrt{x}\bigr]_{\varepsilon}^{1} =\lim_{\varepsilon\to0^+}\bigl(2-2\sqrt{\varepsilon}\bigr) =2.
Logo, essa área converge e vale 2.

Passo 4

Calcular o volume do sólido de revolução da região sob y=1/\sqrt{x}, 0<x\le1, em torno do eixo x. Pelo método dos discos:
V =\pi\int_{0}^{1}\bigl(y(x)\bigr)^{2}\,dx =\pi\int_{0}^{1}\frac{1}{x}\,dx =\pi\lim_{\varepsilon\to0^+}\int_{\varepsilon}^{1}\frac{1}{x}\,dx =\pi\lim_{\varepsilon\to0^+}\bigl[\ln x\bigr]_{\varepsilon}^{1} =\pi\lim_{\varepsilon\to0^+}(-\ln\varepsilon) =\infty.
Portanto, o volume diverge.

Resposta

(a) A área sob y=1/x, x\ge1, é infinita.
(b.1) A área sob y=1/\sqrt{x}, 0<x\le1, converge e vale 2.
(b.2) O volume do sólido de revolução dessa região em torno do eixo x é infinito.

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