Considere os Problemas 1-5 do Teste Verdadeiro Falso
Se f for derivável, então \frac{d}{d x} \sqrt{f(x)}=\frac{f^{\prime}(x)}{2 \sqrt{f(x)}}.

Passo 1

O enunciado pede para decidir se, sempre que f for derivável, vale
\frac{d}{dx}\sqrt{f(x)}=\frac{f'(x)}{2\sqrt{f(x)}}.
O conteúdo é a aplicação da regra da cadeia à função raiz.

Passo 2

Relembrando a regra da cadeia: se definirmos g(u)=u^{1/2}, então, para u>0,
g'(u)=\frac{1}{2}u^{-1/2}=\frac{1}{2\sqrt{u}}.

Passo 3

Aplicando a regra da cadeia a \sqrt{f(x)}=g(f(x)), obtemos
\frac{d}{dx}\sqrt{f(x)}=g'(f(x))\cdot f'(x) =\frac{1}{2\sqrt{f(x)}}\,f'(x) =\frac{f'(x)}{2\sqrt{f(x)}},
mas essa dedução só é válida se f(x)>0.

Passo 4

O enunciado afirma a igualdade apenas supondo que f seja derivável, sem garantir f(x)>0. Por exemplo, se tomarmos f(x)=x^2, então f é derivável em toda parte, mas
\sqrt{f(x)}=|x| não é diferenciável em x=0, enquanto o lado direito
\tfrac{f'(0)}{2\sqrt{f(0)}}=\tfrac{0}{0} é indefinido. Logo a afirmação é falsa.

Resposta

Falso.

Exercícios relacionados