Nos exercícios de 51 a 55 , calcule o volume do sólido obitido pela rotação, em torno do eixo- x, do conjunto de todos os pontos (x, y) tais que
1 \leq x \leq 3 \quad e \quad 0 \leq y \leq x.

Passo 1

O enunciado pede o volume do sólido gerado pela rotação, em torno do eixo- x, da região limitada por 1 \le x \le 3 e 0 \le y \le x. Aqui vamos usar o método dos discos (ou fatias), que se baseia em integrar a área de círculos de raio igual à função y(x).

Passo 2

Pelo método dos discos, o volume é dado por
V = \int_{x=a}^{x=b} \pi \bigl[R(x)\bigr]^{2}\,dx
onde R(x) é o raio do disco em cada x.

Passo 3

Na rotação em torno do eixo- x, o raio do disco é R(x)=y, e na nossa região y=x. Assim
V = \int_{1}^{3} \pi\,[x]^{2}\,dx.

Passo 4

Fatorando \pi e integrando x^{2}, obtemos
V = \pi \int_{1}^{3} x^{2}\,dx = \pi \biggl[\frac{x^{3}}{3}\biggr]_{1}^{3}.

Passo 5

Avaliar nos limites:
V = \pi\Bigl(\frac{3^{3}}{3} - \frac{1^{3}}{3}\Bigr) = \pi\Bigl(\frac{27}{3} - \frac{1}{3}\Bigr) = \frac{26\pi}{3}.

Resposta

\displaystyle \frac{26\pi}{3}

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