Calcule a área sob o gráfico de f(x)=x^{2}-5 x+9,1 \leqslant x \leqslant 4.

Passo 1

O enunciado nos dá a função f(x)=x^{2}-5x+9 e pede a área sob o gráfico de f no intervalo 1\leqslant x\leqslant 4.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • Função: f(x)=x^{2}-5x+9.
  • Intervalo: [1,4].
  • Pergunta: calcular a área sob a curva de f entre x=1 e x=4.

Passo 2

Idéia geral (no estilo “como resolver na prova”): a área sob o gráfico de uma função contínua f no intervalo [a,b] é dada pela integral definida
\int_{a}^{b} f(x)\,dx.
Aqui isso significa calcular
\int_{1}^{4} \bigl(x^{2}-5x+9\bigr)\,dx.
Antes de integrar vale confirmar rapidamente que a função não muda de sinal de forma a precisar subtrair áreas negativas; calculando valores rápidos: f(1)=1-5+9=5, f(4)=16-20+9=5 e o vértice da parábola é em x=\tfrac{5}{2} com f(\tfrac{5}{2})=2{,}75>0. Portanto f(x) é positiva em todo o intervalo e a integral realmente dá a área procurada.

Passo 3

Regra básica que vou usar para integrar termo a termo:
  • Para n\neq -1, \displaystyle \int x^{n}\,dx=\frac{x^{n+1}}{n+1}+C.
  • A integral é linear, isto é, \displaystyle \int (g+h)\,dx=\int g\,dx+\int h\,dx e constantes saem da integral.
Aplicando isso a cada termo de f(x):
\int \bigl(x^{2}-5x+9\bigr)\,dx = \int x^{2}\,dx -5\int x\,dx +9\int 1\,dx.

Passo 4

Calcular as integrais elementares:
\int x^{2}\,dx=\frac{x^{3}}{3},\qquad \int x\,dx=\frac{x^{2}}{2},\qquad \int 1\,dx=x.
Portanto uma antiderivada (primitiva) é
F(x)=\frac{x^{3}}{3}-5\cdot\frac{x^{2}}{2}+9x =\frac{x^{3}}{3}-\frac{5}{2}x^{2}+9x.

Passo 5

Aplicar o Teorema Fundamental do Cálculo: a integral definida é \displaystyle \int_{1}^{4} f(x)\,dx=F(4)-F(1). Vamos calcular F(4) e F(1) com contas claras em frações.
Calcular F(4):
F(4)=\frac{4^{3}}{3}-\frac{5}{2}\cdot 4^{2}+9\cdot 4 =\frac{64}{3}-\frac{5}{2}\cdot 16+36.
\frac{5}{2}\cdot 16=\frac{5\cdot 16}{2}=5\cdot 8=40,
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F(4)=\frac{64}{3}-40+36=\frac{64}{3}-4=\frac{64-12}{3}=\frac{52}{3}.

Passo 6

Calcular F(1):
F(1)=\frac{1^{3}}{3}-\frac{5}{2}\cdot 1^{2}+9\cdot 1 =\frac{1}{3}-\frac{5}{2}+9.
Colocando em denominador comum 6:
\frac{1}{3}=\frac{2}{6},\qquad -\frac{5}{2}=-\frac{15}{6},\qquad 9=\frac{54}{6},
portanto
F(1)=\frac{2-15+54}{6}=\frac{41}{6}.

Passo 7

Subtrair F(4)-F(1). Para facilitar, coloque ambos com denominador 6:
F(4)=\frac{52}{3}=\frac{104}{6},\qquad F(1)=\frac{41}{6}.
\int_{1}^{4} \bigl(x^{2}-5x+9\bigr)\,dx = F(4)-F(1)=\frac{104}{6}-\frac{41}{6}=\frac{63}{6}=\frac{21}{2}.
Em forma decimal isso é \,10{,}5.

Resposta

\dfrac{21}{2}

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