Calcule a área sob o gráfico de
.
Passo 1
O enunciado nos dá a função
e pede a área sob o gráfico de
no intervalo
.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
Informações relevantes extraídas do enunciado:
- Função:
. - Intervalo:
. - Pergunta: calcular a área sob a curva de
entre e .
Passo 2
Idéia geral (no estilo “como resolver na prova”): a área sob o gráfico de uma função contínua
no intervalo
é dada pela integral definida
Aqui isso significa calcular
Antes de integrar vale confirmar rapidamente que a função não muda de sinal de forma a precisar subtrair áreas negativas; calculando valores rápidos:
,
e o vértice da parábola é em
com
. Portanto
é positiva em todo o intervalo e a integral realmente dá a área procurada.
Passo 3
Regra básica que vou usar para integrar termo a termo:
- Para
, . - A integral é linear, isto é,
e constantes saem da integral.
Aplicando isso a cada termo de
:
Passo 4
Calcular as integrais elementares:
Portanto uma antiderivada (primitiva) é
Passo 5
Aplicar o Teorema Fundamental do Cálculo: a integral definida é
. Vamos calcular
e
com contas claras em frações.
Calcular
:
logo
Passo 6
Calcular
:
Colocando em denominador comum
:
portanto
Passo 7
Subtrair
. Para facilitar, coloque ambos com denominador
:
Em forma decimal isso é
.