As seguintes derivadas devem ser feitas pela definição
y=e^{2 x}

Passo 1

O enunciado dá a função y=e^{2x} e pede que eu calcule a derivada de y em relação a x utilizando a definição de derivada.
Informações importantes: a função é y=e^{2x}. Pergunta: calcular \dfrac{dy}{dx} pela definição (limite do quociente incremental).

Passo 2

Vou lembrar a definição de derivada — isso é o que preciso usar passo a passo. A derivada de uma função f em um ponto x é
f'(x)=\lim_{h\to0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}.
Aqui h é um incremento pequeno em x; a expressão dentro do limite é chamada de quociente incremental. O objetivo é avaliar esse limite para f(x)=e^{2x}.

Passo 3

Aplicando a definição com f(x)=e^{2x} escrevo o quociente:
f'(x)=\lim_{h\to0}\frac{e^{2(x+h)}-e^{2x}}{h}.
Agora vou manipular algebricamente esse quociente para extrair um fator que não dependa de h.

Passo 4

Uso a propriedade da exponencial e^{a+b}=e^{a}e^{b} para separar e^{2(x+h)}:
e^{2(x+h)}=e^{2x}e^{2h}.
Substituindo na expressão do passo anterior:
f'(x)=\lim_{h\to0}\frac{e^{2x}e^{2h}-e^{2x}}{h}.
Como e^{2x} não depende de h, posso fatorá-la:
f'(x)=e^{2x}\lim_{h\to0}\frac{e^{2h}-1}{h}.
Portanto tudo se reduz a calcular o limite L=\lim_{h\to0}\dfrac{e^{2h}-1}{h}.

Passo 5

Para avaliar L faço a substituição t=2h. Então quando h\to0 temos t\to0, e h=t/2. Reescrevendo:
L=\lim_{h\to0}\frac{e^{2h}-1}{h}=\lim_{t\to0}\frac{e^{t}-1}{t/2}.
Isso simplifica para
L=2\lim_{t\to0}\frac{e^{t}-1}{t}.
Logo agora só preciso do limite \lim_{t\to0}\dfrac{e^{t}-1}{t}.

Passo 6

Vou justificar por que \lim_{t\to0}\dfrac{e^{t}-1}{t}=1. Uma maneira direta é usar a série de Taylor (expansão em série de potências) da exponencial em torno de t=0:
e^{t}=1+t+\frac{t^{2}}{2!}+\frac{t^{3}}{3!}+\cdots.
Subtraindo 1 e dividindo por t obtemos
\frac{e^{t}-1}{t}=1+\frac{t}{2!}+\frac{t^{2}}{3!}+\cdots.
Quando t\to0 todos os termos com potência positiva de t vão para zero, portanto o limite da soma é 1. Assim
\lim_{t\to0}\frac{e^{t}-1}{t}=1.

Passo 7

Voltando ao L do passo 5, temos
L=2\cdot 1=2.
Substituindo no resultado do passo 4:
f'(x)=e^{2x}\cdot 2 = 2e^{2x}.

Passo 8

Interpretação curta e dica para prova: o que aconteceu foi que o fator 2 veio por causa da derivada do expoente 2x. Em geral, fazendo o mesmo processo para f(x)=e^{ax} (com a constante) chega-se a f'(x)=a e^{ax}. Isso é um padrão útil para lembrar rápido na prova.

Resposta

\dfrac{dy}{dx}=2e^{2x}

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