As seguintes derivadas devem ser feitas pela definição
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede que eu calcule a derivada de
em relação a
utilizando a definição de derivada.
Informações importantes: a função é . Pergunta: calcular
pela definição (limite do quociente incremental).
Informações importantes: a função é
Passo 2
Vou lembrar a definição de derivada — isso é o que preciso usar passo a passo. A derivada de uma função
em um ponto
é
Aqui
é um incremento pequeno em
; a expressão dentro do limite é chamada de quociente incremental. O objetivo é avaliar esse limite para
.
Passo 3
Aplicando a definição com
escrevo o quociente:
Agora vou manipular algebricamente esse quociente para extrair um fator que não dependa de
.
Passo 4
Uso a propriedade da exponencial
para separar
:
Substituindo na expressão do passo anterior:
Como
não depende de
, posso fatorá-la:
Portanto tudo se reduz a calcular o limite
.
Passo 5
Para avaliar
faço a substituição
. Então quando
temos
, e
. Reescrevendo:
Isso simplifica para
Logo agora só preciso do limite
.
Passo 6
Vou justificar por que
. Uma maneira direta é usar a série de Taylor (expansão em série de potências) da exponencial em torno de
:
Subtraindo
e dividindo por
obtemos
Quando
todos os termos com potência positiva de
vão para zero, portanto o limite da soma é
. Assim
Passo 7
Voltando ao
do passo 5, temos
Substituindo no resultado do passo 4:
Passo 8
Interpretação curta e dica para prova: o que aconteceu foi que o fator
veio por causa da derivada do expoente
. Em geral, fazendo o mesmo processo para
(com
constante) chega-se a
. Isso é um padrão útil para lembrar rápido na prova.