Sejam X, \bar{X}: U \subset \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R}^{3} superficies simples e D \subset U uma região do plano. Prove que, se X e \bar{X} são isométricas, então as áreas A(X(D)) e A(\bar{X}(D)) coincidem.

Passo 1

O enunciado considera duas parametrizações de superfície simples \;X,\bar X:U\subset\mathbb R^2\to\mathbb R^3, e uma região D\subset U. Pede-se para mostrar que, se X e \bar X são isométricas (isto é, preservam o produto interno das derivadas), então
A\bigl(X(D)\bigr)\;=\;A\bigl(\bar X(D)\bigr).
O conteúdo principal envolve a primeira forma fundamental e a fórmula de área de uma superfície parametrizada.

Passo 2

Recordemos que, para uma parametrização X(u,v), a primeira forma fundamental tem coeficientes
E=\bigl\langle X_u,X_u\bigr\rangle,\quad F=\bigl\langle X_u,X_v\bigr\rangle,\quad G=\bigl\langle X_v,X_v\bigr\rangle.
A área da parte da superfície acima de D é dada por
A\bigl(X(D)\bigr) =\iint_{D}\sqrt{\,EG-F^2\,}\;du\,dv.

Passo 3

Como X e \bar X são isométricas, por definição têm a mesma primeira forma fundamental em cada (u,v):
\bigl\langle X_u,X_u\bigr\rangle =\bigl\langle \bar X_u,\bar X_u\bigr\rangle,\quad \bigl\langle X_u,X_v\bigr\rangle =\bigl\langle \bar X_u,\bar X_v\bigr\rangle,\quad \bigl\langle X_v,X_v\bigr\rangle =\bigl\langle \bar X_v,\bar X_v\bigr\rangle.
Portanto, denotando pelos bars os coeficientes de \bar X, temos \bar E=E,\;\bar F=F,\;\bar G=G.

Passo 4

Pela fórmula de área aplicada a \bar X,
A\bigl(\bar X(D)\bigr) =\iint_{D}\sqrt{\,\bar E\,\bar G-\bar F^2\,}\;du\,dv =\iint_{D}\sqrt{\,EG-F^2\,}\;du\,dv.

Passo 5

Comparando as duas expressões de área, concluímos
A\bigl(X(D)\bigr) =\iint_{D}\sqrt{\,EG-F^2\,}\;du\,dv =\iint_{D}\sqrt{\,\bar E\,\bar G-\bar F^2\,}\;du\,dv =A\bigl(\bar X(D)\bigr).

Resposta

A\bigl(X(D)\bigr)=A\bigl(\bar X(D)\bigr).

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