Sejam
superficies simples e
uma região do plano. Prove que, se
e
são isométricas, então as áreas
e
coincidem.
Passo 1
O enunciado considera duas parametrizações de superfície simples
, e uma região
. Pede-se para mostrar que, se
e
são isométricas (isto é, preservam o produto interno das derivadas), então
O conteúdo principal envolve a primeira forma fundamental e a fórmula de área de uma superfície parametrizada.
Passo 2
Recordemos que, para uma parametrização
, a primeira forma fundamental tem coeficientes
A área da parte da superfície acima de
é dada por
Passo 3
Como
e
são isométricas, por definição têm a mesma primeira forma fundamental em cada
:
Portanto, denotando pelos bars os coeficientes de
, temos
.
Passo 4
Pela fórmula de área aplicada a
,
Passo 5
Comparando as duas expressões de área, concluímos