Calcule
\int_{1}^{e}\left\langle 1 / t, \cos (\ln t), t^{2}\right\rangle d t

Passo 1

O enunciado pede calcular a integral do vetor função entre t=1 e t=e:
\int_{1}^{e}\left\langle \frac{1}{t},\\ \cos(\ln t),\\ t^{2}\right\rangle dt.
Informações dadas:
  • O integrando é o vetor \left\langle \dfrac{1}{t},\\ \cos(\ln t),\\ t^{2}\right\rangle.
  • O intervalo de integração é [1,e].
    O que precisamos retornar: o valor da integral vetorial no intervalo dado (um vetor com três componentes).

Passo 2

Primeiro lembrete importante (fórmula que vou usar): a integral de uma função vetorial faz-se componente a componente. Ou seja,
\int_{1}^{e}\left\langle f(t),g(t),h(t)\right\rangle dt = \left\langle \int_{1}^{e}f(t)\,dt,\\ \int_{1}^{e}g(t)\,dt,\\ \int_{1}^{e}h(t)\,dt\right\rangle.
Aplicando isso ao nosso caso, precisamos calcular três integrais escalares:
I_{1}=\int_{1}^{e}\frac{1}{t}\,dt,\qquad I_{2}=\int_{1}^{e}\cos(\ln t)\,dt,\qquad I_{3}=\int_{1}^{e}t^{2}\,dt.

Passo 3

Calcular I_{1}=\int_{1}^{e}\dfrac{1}{t}\,dt.
Fórmula usada: para t>0,
\int \frac{1}{t}\,dt = \ln t + C,
onde \ln t é o logaritmo natural. Avaliando o integral definido:
I_{1}=\left[\ln t\right]_{1}^{e}=\ln(e)-\ln(1).
Sabendo que \ln(e)=1 e \ln(1)=0, obtemos
I_{1}=1.

Passo 4

Calcular I_{2}=\int_{1}^{e}\cos(\ln t)\,dt.
Explicação do método: aqui é conveniente fazer a substituição \,u=\ln t. Vamos explicar passo a passo:
  • Defina u=\ln t. Então t=e^{u}.
  • Diferenciando, du=\dfrac{1}{t}\,dt, ou equivalentemente dt=t\,du=e^{u}\,du.
  • Quando t=1 temos u=0. Quando t=e temos u=1.
    Assim,
I_{2}=\int_{t=1}^{t=e}\cos(\ln t)\,dt =\int_{u=0}^{u=1}\cos(u)\cdot e^{u}\,du =\int_{0}^{1}e^{u}\cos u\,du.
Agora calculamos \int e^{u}\cos u\,du indefinidamente e depois avaliamos de 0 a 1.
Cálculo por partes (duas vezes): defina
J(u)=\int e^{u}\cos u\,du.
Fazendo integração por partes uma vez:
  • Escolha a=e^{u} (então da=e^{u}\,du) e db=\cos u\,du (então b=\sin u).
J(u)=e^{u}\sin u - \int e^{u}\sin u\,du.
Denote K(u)=\int e^{u}\sin u\,du. Fazendo integração por partes para K(u):
  • Escolha a=e^{u} (então da=e^{u}\,du) e db=\sin u\,du (então b=-\cos u).
K(u)=-e^{u}\cos u + \int e^{u}\cos u\,du = -e^{u}\cos u + J(u).
Volta para a expressão de J(u):
J(u)=e^{u}\sin u - K(u)=e^{u}\sin u -\big(-e^{u}\cos u + J(u)\big).
Simplificando:
J(u)=e^{u}\sin u + e^{u}\cos u - J(u).
Então
2J(u)=e^{u}(\sin u + \cos u),
logo
J(u)=\frac{e^{u}}{2}\big(\sin u + \cos u\big)+C.
Agora avaliamos o definido:
I_{2}=\left[J(u)\right]_{0}^{1} =\frac{1}{2}\bigg[e^{u}\big(\sin u + \cos u\big)\bigg]_{0}^{1}.
Calculando os valores:
  • Para u=1: e^{1}\big(\sin 1 + \cos 1\big)=e(\sin 1 + \cos 1).
  • Para u=0: e^{0}\big(\sin 0 + \cos 0\big)=1\cdot(0+1)=1.
    Portanto
I_{2}=\frac{1}{2}\big(e(\sin 1 + \cos 1)-1\big).

Passo 5

Calcular I_{3}=\int_{1}^{e}t^{2}\,dt.
Fórmula usada: para n\neq -1,
\int t^{n}\,dt=\frac{t^{n+1}}{n+1}+C.
Aqui n=2, logo \int t^{2}\,dt=\dfrac{t^{3}}{3}+C. Avaliando de 1 a e,
I_{3}=\left[\frac{t^{3}}{3}\right]_{1}^{e}=\frac{e^{3}}{3}-\frac{1^{3}}{3}=\frac{1}{3}\big(e^{3}-1\big).

Passo 6

Agora juntamos as três componentes obtidas e escrevemos a integral vetorial final:
\int_{1}^{e}\left\langle \frac{1}{t},\\ \cos(\ln t),\\ t^{2}\right\rangle dt = \left\langle I_{1},\\ I_{2},\\ I_{3}\right\rangle.
Substituindo os valores:
\left\langle 1,\\ \frac{1}{2}\big(e(\sin 1 + \cos 1)-1\big),\\ \frac{1}{3}\big(e^{3}-1\big)\right\rangle.

Resposta

\left\langle 1,\\ \dfrac{1}{2}\big(e(\sin 1 + \cos 1)-1\big),\\ \dfrac{1}{3}\big(e^{3}-1\big)\right\rangle

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