Calcule
Passo 1
O enunciado pede calcular a integral do vetor função entre
e
:
Informações dadas:
- O integrando é o vetor
. - O intervalo de integração é
.
O que precisamos retornar: o valor da integral vetorial no intervalo dado (um vetor com três componentes).
Passo 2
Primeiro lembrete importante (fórmula que vou usar): a integral de uma função vetorial faz-se componente a componente. Ou seja,
Aplicando isso ao nosso caso, precisamos calcular três integrais escalares:
Passo 3
Calcular
.
Fórmula usada: para
,
onde
é o logaritmo natural. Avaliando o integral definido:
Sabendo que
e
, obtemos
Passo 4
Calcular
.
Explicação do método: aqui é conveniente fazer a substituição
. Vamos explicar passo a passo:
- Defina
. Então . - Diferenciando,
, ou equivalentemente . - Quando
temos . Quando temos .
Assim,
Agora calculamos
indefinidamente e depois avaliamos de
a
.
Cálculo por partes (duas vezes): defina
Fazendo integração por partes uma vez:
- Escolha
(então ) e (então ).
Denote
. Fazendo integração por partes para
:
- Escolha
(então ) e (então ).
Volta para a expressão de
:
Simplificando:
Então
logo
Agora avaliamos o definido:
Calculando os valores:
- Para
: . - Para
: .
Portanto
Passo 5
Calcular
.
Fórmula usada: para
,
Aqui
, logo
. Avaliando de
a
,
Passo 6
Agora juntamos as três componentes obtidas e escrevemos a integral vetorial final:
Substituindo os valores: