Encontre o comprimento da curva
\vec{r}(t)=\langle\cos t, \operatorname{sen} t, t\rangle, \quad t \in[0, \pi] .

Passo 1

O que o enunciado pede e o que ele nos dá:
  • Pede: encontrar o comprimento da curva parametrizada por \vec{r}(t) no intervalo t\in[0,\pi].
  • Nos dá a parametrização
\vec{r}(t)=\langle \cos t,\; \operatorname{sen} t,\; t\rangle,\qquad t\in[0,\pi].
  • Portanto precisamos aplicar a definição de comprimento de arco para uma curva parametrizada em função de t e calcular o valor numérico desse comprimento no intervalo dado.

Passo 2

Fórmula do comprimento de uma curva parametrizada (aula rápida):
  • Se uma curva é dada por \vec{r}(t) para t\in[a,b] e \vec{r} é diferenciável, o comprimento L da curva entre t=a e t=b é
L=\int_{a}^{b}\big\lVert \vec{r}\,'(t)\big\rVert\,dt.
  • Aqui \vec{r}\,'(t) é a derivada vetorial (velocidade) e \big\lVert \vec{r}\,'(t)\big\rVert é a norma (módulo) desse vetor, ou seja a raiz quadrada da soma dos quadrados das componentes.
  • Em palavras: deriva cada componente, calcula a magnitude do vetor derivada e integra essa magnitude no intervalo.

Passo 3

Derivar cada componente (passo a passo):
  • A parametrização tem três componentes: \cos t, \operatorname{sen} t e t.
  • Derivando componente a componente,
\vec{r}\,'(t)=\left\langle \frac{d}{dt}\cos t,\; \frac{d}{dt}\operatorname{sen} t,\; \frac{d}{dt}t\right\rangle = \langle -\operatorname{sen} t,\; \cos t,\; 1\rangle.

Passo 4

Calcular o quadrado da norma de \vec{r}\,'(t) e simplificar usando identidade trigonométrica:
  • A norma ao quadrado é a soma dos quadrados das componentes:
\big\lVert \vec{r}\,'(t)\big\rVert^{2}=(-\operatorname{sen} t)^{2}+(\cos t)^{2}+1^{2}.
  • Simplificando os quadrados:
\big\lVert \vec{r}\,'(t)\big\rVert^{2}=\operatorname{sen}^{2} t+\cos^{2} t+1.
  • Usar a identidade trigonométrica fundamental \operatorname{sen}^{2} t+\cos^{2} t=1. Substituindo:
\big\lVert \vec{r}\,'(t)\big\rVert^{2}=1+1=2.
  • Observação importante: a norma ao quadrado é constante (igual a 2), então a norma é constante também.

Passo 5

Obter a norma (magnitude) e montar a integral:
  • Como \big\lVert \vec{r}\,'(t)\big\rVert^{2}=2, temos
\big\lVert \vec{r}\,'(t)\big\rVert=\sqrt{2},
escolhendo o sinal positivo porque norma é não negativa.
  • Agora aplicar a fórmula do comprimento no intervalo t\in[0,\pi]:
L=\int_{0}^{\pi}\big\lVert \vec{r}\,'(t)\big\rVert\,dt=\int_{0}^{\pi}\sqrt{2}\,dt.

Passo 6

Calcular a integral (passo a passo sem calculadora):
  • Integrando uma constante \sqrt{2} em t:
L=\sqrt{2}\int_{0}^{\pi} dt=\sqrt{2}\,[t]_{0}^{\pi}=\sqrt{2}\,(\pi-0)=\pi\sqrt{2}.
  • Portanto o comprimento da curva no intervalo dado é \pi\sqrt{2}.

Resposta

\pi\sqrt{2}

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