Determine a função \vec{r}(t) sabendo que \vec{r}^{\prime}(t)=\left\langle t, 3 t^{2}, 2 e^{t}\right\rangle e \vec{r}(0)=\langle 1,0,2\rangle.

Passo 1

O enunciado nos dá as seguintes informações:
  • A derivada da função vetorial é \vec{r}^{\prime}(t)=\langle t,\,3 t^{2},\,2 e^{t}\rangle.
  • A condição inicial é \vec{r}(0)=\langle 1,\,0,\,2\rangle.
O que nos pedem: determinar explicitamente a função vetorial \vec{r}(t) que satisfaz a derivada e a condição inicial acima.

Passo 2

Ideia principal (em palavras simples): integrar cada componente da derivada em relação a t para recuperar a função original. Quando se tem uma derivada vetorial dada por componentes, a antiderivada (ou primitiva) também é obtida componente a componente, adicionando constantes de integração em cada componente. Em símbolos: se \vec{r}^{\prime}(t)=\langle f(t),\,g(t),\,h(t)\rangle então
\vec{r}(t)=\langle \int f(t)\,dt,\,\int g(t)\,dt,\,\int h(t)\,dt\rangle + \langle C_{1},C_{2},C_{3}\rangle,
onde C_{1},C_{2},C_{3} são constantes reais a determinar pela condição inicial.
Relembrando duas regras de integração que vamos usar:
  • Regra da potência: para n\neq -1,
\int t^{n}\,dt=\frac{t^{n+1}}{n+1}+C.
Aqui t é a variável de integração, n é o expoente, e C é a constante de integração.
  • Integral da exponencial:
\int e^{t}\,dt=e^{t}+C.
Se houver um fator multiplicativo (por exemplo 2e^{t}), ele sai como fator na integral: \int 2e^{t}\,dt=2e^{t}+C.

Passo 3

Integro a primeira componente \,t. Aplicando a regra da potência com n=1:
\int t\,dt=\frac{t^{1+1}}{1+1}+C_{1}=\frac{t^{2}}{2}+C_{1}.

Passo 4

Integro a segunda componente \,3t^{2}. Uso que constante pode sair da integral:
\int 3t^{2}\,dt=3\int t^{2}\,dt=3\cdot\frac{t^{3}}{3}+C_{2}=t^{3}+C_{2}.

Passo 5

Integro a terceira componente \,2e^{t}. Uso a regra da exponencial:
\int 2e^{t}\,dt=2\int e^{t}\,dt=2e^{t}+C_{3}.

Passo 6

Juntando as três primitivas obtemos a forma geral de \vec{r}(t) com constantes de integração:
\vec{r}(t)=\left\langle \frac{t^{2}}{2}+C_{1},\; t^{3}+C_{2},\; 2e^{t}+C_{3}\right\rangle.

Passo 7

Agora aplico a condição inicial \vec{r}(0)=\langle 1,\,0,\,2\rangle. Substituindo t=0 na expressão geral:
  • Primeira componente: \dfrac{0^{2}}{2}+C_{1}=C_{1}=1. Logo C_{1}=1.
  • Segunda componente: 0^{3}+C_{2}=C_{2}=0. Logo C_{2}=0.
  • Terceira componente: 2e^{0}+C_{3}=2\cdot 1 + C_{3}=2 + C_{3}=2. Logo C_{3}=0.

Passo 8

Substituindo C_{1}=1, C_{2}=0, C_{3}=0 na expressão geral, obtemos a solução particular:
\vec{r}(t)=\left\langle 1+\frac{t^{2}}{2},\; t^{3},\; 2e^{t}\right\rangle.
(Fácil de verificar: derivando componente a componente volta-se à \vec{r}^{\prime}(t)=\langle t,3t^{2},2e^{t}\rangle e em t=0 \langle 1,0,2\rangle.)

Resposta

\vec{r}(t)=\left\langle 1+\dfrac{t^{2}}{2},\; t^{3},\; 2e^{t}\right\rangle

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