Determine a função
sabendo que
e
.
Passo 1
O enunciado nos dá as seguintes informações:
- A derivada da função vetorial é
. - A condição inicial é
.
O que nos pedem: determinar explicitamente a função vetorial
que satisfaz a derivada e a condição inicial acima.
Passo 2
Ideia principal (em palavras simples): integrar cada componente da derivada em relação a
para recuperar a função original. Quando se tem uma derivada vetorial dada por componentes, a antiderivada (ou primitiva) também é obtida componente a componente, adicionando constantes de integração em cada componente. Em símbolos: se
então
onde
são constantes reais a determinar pela condição inicial.
Relembrando duas regras de integração que vamos usar:
- Regra da potência: para
,
Aqui
é a variável de integração,
é o expoente, e
é a constante de integração.
- Integral da exponencial:
Se houver um fator multiplicativo (por exemplo
), ele sai como fator na integral:
.
Passo 3
Integro a primeira componente
. Aplicando a regra da potência com
:
Passo 4
Integro a segunda componente
. Uso que constante pode sair da integral:
Passo 5
Integro a terceira componente
. Uso a regra da exponencial:
Passo 6
Juntando as três primitivas obtemos a forma geral de
com constantes de integração:
Passo 7
Agora aplico a condição inicial
. Substituindo
na expressão geral:
- Primeira componente:
. Logo . - Segunda componente:
. Logo . - Terceira componente:
. Logo .
Passo 8
Substituindo
,
,
na expressão geral, obtemos a solução particular:
(Fácil de verificar: derivando componente a componente volta-se à
e em
dá
.)