Resolva a integral vetorial
\int\left\langle\sqrt{t}, t^{-2}, \ln (t)\right\rangle d t

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral indefinida do campo vetorial
\int\left\langle\sqrt{t},\, t^{-2},\, \ln(t)\right\rangle dt.
Dados relevantes:
  • A função a integrar é o vetor \left\langle\sqrt{t},\, t^{-2},\, \ln(t)\right\rangle.
  • Trata-se de uma integral indefinida (ou seja, vai aparecer uma constante de integração).
  • A função \ln(t) exige que t>0; portanto a solução vale para t>0.

Passo 2

Ideia de resolução (regra que vamos usar): a integração de um vetor é feita componente a componente, por linearidade. Em termos práticos,
\int\langle f(t),g(t),h(t)\rangle dt = \left\langle \int f(t)\,dt,\; \int g(t)\,dt,\; \int h(t)\,dt \right\rangle + \mathbf{C},
onde \mathbf{C} é um vetor constante de integração \mathbf{C}=\langle C_1,C_2,C_3\rangle. Vou aplicar isso às três componentes. Vou explicar cada regra de integração que uso.

Passo 3

Primeira componente: \sqrt{t}.
Transformar \sqrt{t} em potência: \sqrt{t}=t^{1/2}.
Usar a regra da potência: para n\neq -1,
\int t^{n}\,dt=\frac{t^{n+1}}{n+1}+C.
Aqui n=\tfrac{1}{2}, então
\int t^{1/2}\,dt=\frac{t^{1/2+1}}{1/2+1}+C=\frac{t^{3/2}}{3/2}+C=\frac{2}{3}t^{3/2}+C.
Portanto a primiera componente integrada é \dfrac{2}{3}t^{3/2}.

Passo 4

Segunda componente: t^{-2}.
Aplicando a mesma regra da potência com n=-2:
\int t^{-2}\,dt=\frac{t^{-2+1}}{-2+1}+C=\frac{t^{-1}}{-1}+C=-t^{-1}+C.
É usual escrever -t^{-1} como -\dfrac{1}{t}. Então a segunda componente integrada é -\dfrac{1}{t}.

Passo 5

Terceira componente: \ln(t).
Para integrar \ln(t) usa-se integração por partes. Lembrete da fórmula de integração por partes:
\int u\,dv = uv - \int v\,du.
Escolher u=\ln(t) e dv=dt. Então
du=\frac{1}{t}\,dt,\qquad v=\int dv=\int 1\,dt = t.
Aplicando a fórmula,
\int \ln(t)\,dt = t\ln(t) - \int t\cdot\frac{1}{t}\,dt = t\ln(t) - \int 1\,dt = t\ln(t) - t + C.
Logo a terceira componente integrada é t\ln(t)-t.

Passo 6

Juntando as três componentes e incluindo a constante de integração vetorial \mathbf{C}=\langle C_1,C_2,C_3\rangle, a integral do vetor é
\left\langle \frac{2}{3}t^{3/2},\; -\frac{1}{t},\; t\ln(t)-t\right\rangle + \langle C_1,C_2,C_3\rangle.
Essa expressão vale para t>0 (por causa do \ln(t)). Está prontinho — componente a componente, com as regras explicadas!

Resposta

\left\langle \frac{2}{3}t^{3/2},\; -\frac{1}{t},\; t\ln(t)-t\right\rangle + \langle C_1,C_2,C_3\rangle

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