Resolva a integral vetorial
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral indefinida do campo vetorial
Dados relevantes:
- A função a integrar é o vetor
. - Trata-se de uma integral indefinida (ou seja, vai aparecer uma constante de integração).
- A função
exige que ; portanto a solução vale para .
Passo 2
Ideia de resolução (regra que vamos usar): a integração de um vetor é feita componente a componente, por linearidade. Em termos práticos,
onde
é um vetor constante de integração
. Vou aplicar isso às três componentes. Vou explicar cada regra de integração que uso.
Passo 3
Primeira componente:
.
Transformar
em potência:
.
Usar a regra da potência: para
,
Aqui
, então
Portanto a primiera componente integrada é
.
Passo 4
Segunda componente:
.
Aplicando a mesma regra da potência com
:
É usual escrever
como
. Então a segunda componente integrada é
.
Passo 5
Terceira componente:
.
Para integrar
usa-se integração por partes. Lembrete da fórmula de integração por partes:
Escolher
e
. Então
Aplicando a fórmula,
Logo a terceira componente integrada é
.
Passo 6
Juntando as três componentes e incluindo a constante de integração vetorial
, a integral do vetor é
Essa expressão vale para
(por causa do
). Está prontinho — componente a componente, com as regras explicadas!