Se
é o vetor posição de uma partícula em movimento, mostrar que o vetor velocidade da partícula é perpendicular a
.
a)
b) Do item a), mostrar que o vetor aceleração tem sentido oposto ao do vetor posição.
a)
b) Do item a), mostrar que o vetor aceleração tem sentido oposto ao do vetor posição.
Passo 1
O enunciado dá o vetor posição
e pede duas coisas:
- (a) Mostrar que o vetor velocidade
da partícula é perpendicular a . - (b) A partir do item (a), mostrar que o vetor aceleração
tem sentido oposto ao de .
Informações fornecidas:
O que precisamos obter explicitamente:
-
e verificar (isso garante perpendicularidade). -
e comparar com para verificar que tem sentido oposto.
Passo 2
Definição útil e regra que vamos usar: a velocidade é a derivada componente a componente da posição. Para funções compostas (por exemplo
) usamos a regra da cadeia: se
então
. Aplicando isso às componentes:
Derivadas básicas que usamos:
Aqui
e
. Agora derivamos
componente a componente:
Portanto a velocidade é
Passo 3
Para mostrar perpendicularidade usamos o produto escalar: dois vetores
e
são perpendiculares se, e somente se,
. Calculamos o produto escalar
:
Agora simplificamos:
Como o produto escalar é zero para todo
, concluímos que
é perpendicular a
para todos os instantes
. (Intuição física: a partícula descreve um movimento circular de raio
, e a velocidade é tangente ao círculo enquanto
é radial, logo são perpendiculares.)
Passo 4
Agora calculamos a aceleração como derivada de
(ou segunda derivada de
). Derivando componente a componente e usando novamente a regra da cadeia:
Derivadas das componentes de
:
Logo
Passo 5
Compare
com
. Observamos que
Isto mostra que a aceleração é um múltiplo escalar de
com escalar
. Um múltiplo negativo significa que a aceleração está na direção oposta à de
(antiparalela). Em palavras: a aceleração aponta para o centro do círculo enquanto
aponta para fora — portanto têm sentidos opostos. Observação extra útil: como
(pois
), temos
.
Resposta
a)
e
, logo
é perpendicular a
.\n
b) , portanto a aceleração tem sentido oposto ao vetor posição.
b)