Se \vec{r}(t) é o vetor posição de uma partícula em movimento, mostrar que o vetor velocidade da partícula é perpendicular a \vec{r}(t).
a) \vec{r}(t)=(\cos 3 t, \sin 3 t)
b) Do item a), mostrar que o vetor aceleração tem sentido oposto ao do vetor posição.

Passo 1

O enunciado dá o vetor posição \vec{r}(t) e pede duas coisas:
  • (a) Mostrar que o vetor velocidade \vec{v}(t) da partícula é perpendicular a \vec{r}(t).
  • (b) A partir do item (a), mostrar que o vetor aceleração \vec{a}(t) tem sentido oposto ao de \vec{r}(t).
Informações fornecidas:
\vec{r}(t) = (\cos 3t, \sin 3t).
O que precisamos obter explicitamente:
  • \vec{v}(t)=\dfrac{d\vec{r}}{dt} e verificar \vec{r}(t)\cdot\vec{v}(t)=0 (isso garante perpendicularidade).
  • \vec{a}(t)=\dfrac{d\vec{v}}{dt}=\dfrac{d^2\vec{r}}{dt^2} e comparar com \vec{r}(t) para verificar que tem sentido oposto.

Passo 2

Definição útil e regra que vamos usar: a velocidade é a derivada componente a componente da posição. Para funções compostas (por exemplo \cos 3t) usamos a regra da cadeia: se f(t)=g(h(t)) então f'(t)=g'(h(t))\cdot h'(t). Aplicando isso às componentes:
Derivadas básicas que usamos:
\frac{d}{dt}\cos u = -\sin u\cdot\frac{du}{dt},\qquad \frac{d}{dt}\sin u = \cos u\cdot\frac{du}{dt}.
Aqui u=3t e \frac{du}{dt}=3. Agora derivamos \vec{r}(t) componente a componente:
\frac{d}{dt}\big(\cos 3t\big) = -\sin 3t \cdot 3 = -3\sin 3t,
\frac{d}{dt}\big(\sin 3t\big) = \cos 3t \cdot 3 = 3\cos 3t.
Portanto a velocidade é
\vec{v}(t) = \vec{r}\,'(t) = (-3\sin 3t,\; 3\cos 3t).

Passo 3

Para mostrar perpendicularidade usamos o produto escalar: dois vetores \vec{u} e \vec{w} são perpendiculares se, e somente se, \vec{u}\cdot\vec{w}=0. Calculamos o produto escalar \vec{r}(t)\cdot\vec{v}(t):
\vec{r}(t)\cdot\vec{v}(t) = (\cos 3t)(-3\sin 3t) + (\sin 3t)(3\cos 3t).
Agora simplificamos:
(\cos 3t)(-3\sin 3t) + (\sin 3t)(3\cos 3t) = -3\cos 3t\sin 3t + 3\sin 3t\cos 3t = 0.
Como o produto escalar é zero para todo t, concluímos que \vec{v}(t) é perpendicular a \vec{r}(t) para todos os instantes t. (Intuição física: a partícula descreve um movimento circular de raio 1, e a velocidade é tangente ao círculo enquanto \vec{r} é radial, logo são perpendiculares.)

Passo 4

Agora calculamos a aceleração como derivada de \vec{v}(t) (ou segunda derivada de \vec{r}(t)). Derivando componente a componente e usando novamente a regra da cadeia:
Derivadas das componentes de \vec{v}(t):
\frac{d}{dt}(-3\sin 3t) = -3\cos 3t \cdot 3 = -9\cos 3t,
\frac{d}{dt}(3\cos 3t) = 3(-\sin 3t)\cdot 3 = -9\sin 3t.
Logo
\vec{a}(t) = \vec{v}\,'(t) = (-9\cos 3t,\; -9\sin 3t).

Passo 5

Compare \vec{a}(t) com \vec{r}(t). Observamos que
\vec{a}(t) = -9(\cos 3t,\; \sin 3t) = -9\,\vec{r}(t).
Isto mostra que a aceleração é um múltiplo escalar de \vec{r}(t) com escalar -9. Um múltiplo negativo significa que a aceleração está na direção oposta à de \vec{r}(t) (antiparalela). Em palavras: a aceleração aponta para o centro do círculo enquanto \vec{r} aponta para fora — portanto têm sentidos opostos. Observação extra útil: como \|\vec{r}(t)\|=1 (pois \cos^2 3t+\sin^2 3t=1), temos \|\vec{a}(t)\|=9.

Resposta

a) \vec{v}(t)=(-3\sin 3t,\;3\cos 3t) e \vec{r}(t)\cdot\vec{v}(t)=0, logo \vec{v}(t) é perpendicular a \vec{r}(t).\n
b) \vec{a}(t)=(-9\cos 3t,\;-9\sin 3t)=-9\,\vec{r}(t), portanto a aceleração tem sentido oposto ao vetor posição.

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