Vou reparametrizar tomando como parâmetro o comprimento de arco s medido a partir de t=0. Ou seja, precisamos encontrar uma curva de velocidade unitária \tilde{\vec r}(s) equivalente à \vec r(t), definida para s entre 0 e o comprimento total L da curva.
Passo 2
Primeiro passo técnico: calcular a derivada \vec r'(t). Derivo componente a componente e explico cada derivada:
Derivada de \sqrt{2}\cos t em relação a t é \sqrt{2}\cdot(-\sin t) = -\sqrt{2}\sin t.
Derivada de \sqrt{2}\sin 2t é \sqrt{2}\cdot(2\cos 2t) = 2\sqrt{2}\cos 2t.
Observação importante (para garantir que podemos usar s como parâmetro): v(t)>0 para todo t. Expliquei por que não há pontos com v(t)=0: para ter v(t)=0 precisaríamos \sin t=0 e \cos 2t=0 simultaneamente; essas condições não ocorrem ao mesmo tempo (valores de t distintos), logo \|\vec r'(t)\| nunca se anula no intervalo considerado. Assim s(t)=\int_0^t v(\tau)\,d\tau é estritamente crescente e tem inversa bem definida.
Passo 4
Defino a função comprimento de arco medida a partir de t=0:
L = s(2\pi)=\int_{0}^{2\pi} \sqrt{2\sin^2\tau + 8\cos^2 2\tau}\,d\tau.
Por simetrias da integranda (periodicidade de v com período \pi e simetria em [0,\pi]) pode-se escrever também
L = 4\int_{0}^{\pi/2} \sqrt{2\sin^2\tau + 8\cos^2 2\tau}\,d\tau,
mas o valor explícito em funções elementares não aparece — trata‑se de uma integral elíptica em geral.
Como s(t) é estritamente crescente e contínua em [0,2\pi], existe a inversa t=t(s) definida em [0,L].
Passo 5
A reparametrização pelo comprimento de arco (isto é, a parametrização unitária) é então obtida compondo a curva original com a inversa t(s). Escrevo a parametrização unitária e verifico por que ela tem velocidade unitária:
Isso confirma que \tilde{\vec r}(s) é uma parametrização pelo comprimento de arco.
Passo 6
Comentário prático e dica para a prova: normalmente, quando a integral que define s(t) não tem primitiva elementar (como neste caso, em que aparece uma integral do tipo elíptico), você deixa a reparametrização em forma inversa implicitamente, como fiz acima. Isso é perfeitamente aceitável: a reparametrização pelo comprimento de arco é a composição \vec r\circ s^{-1}. Se for necessário trabalhar numericamente com t(s) (por exemplo, para um valor específico de s), use métodos numéricos (Newton, bisseção) para inverter s(t)=\int_0^t v(\tau)\,d\tau. Para aproximações locais dá para usar a expansão linear: