Reparametrizar pelo comprimento de arco as seguintes curvas:
\vec{r}(t)=(\sqrt{2} \cos t, \sqrt{2} \sin 2 t), t \in[0,2 \pi]

Passo 1

O que o exercício pede: reparametrizar pelo comprimento de arco a curva dada.
Informações fornecidas pelo enunciado: a curva é
\vec{r}(t) = \big(\sqrt{2}\cos t,\;\sqrt{2}\sin 2t\big),\qquad t\in[0,2\pi].
Vou reparametrizar tomando como parâmetro o comprimento de arco s medido a partir de t=0. Ou seja, precisamos encontrar uma curva de velocidade unitária \tilde{\vec r}(s) equivalente à \vec r(t), definida para s entre 0 e o comprimento total L da curva.

Passo 2

Primeiro passo técnico: calcular a derivada \vec r'(t). Derivo componente a componente e explico cada derivada:
  • Derivada de \sqrt{2}\cos t em relação a t é \sqrt{2}\cdot(-\sin t) = -\sqrt{2}\sin t.
  • Derivada de \sqrt{2}\sin 2t é \sqrt{2}\cdot(2\cos 2t) = 2\sqrt{2}\cos 2t.
Portanto
\vec r'(t) = \big(-\sqrt{2}\sin t,\;2\sqrt{2}\cos 2t\big).

Passo 3

Agora calculamos a velocidade (norma de \vec r'(t)). A norma de um vetor (a,b) é \sqrt{a^2+b^2}. Aplicando aqui:
\|\vec r'(t)\| = \sqrt{(-\sqrt{2}\sin t)^2 + (2\sqrt{2}\cos 2t)^2} = \sqrt{2\sin^2 t + 8\cos^2 2t}.
Vou chamar essa função de velocidade de v(t):
v(t)=\sqrt{2\sin^2 t + 8\cos^2 2t}.
Observação importante (para garantir que podemos usar s como parâmetro): v(t)>0 para todo t. Expliquei por que não há pontos com v(t)=0: para ter v(t)=0 precisaríamos \sin t=0 e \cos 2t=0 simultaneamente; essas condições não ocorrem ao mesmo tempo (valores de t distintos), logo \|\vec r'(t)\| nunca se anula no intervalo considerado. Assim s(t)=\int_0^t v(\tau)\,d\tau é estritamente crescente e tem inversa bem definida.

Passo 4

Defino a função comprimento de arco medida a partir de t=0:
s(t)=\int_{0}^{t} v(\tau)\,d\tau = \int_{0}^{t} \sqrt{2\sin^2\tau + 8\cos^2 2\tau}\,d\tau.
Temos s(0)=0 e o comprimento total da curva é
L = s(2\pi)=\int_{0}^{2\pi} \sqrt{2\sin^2\tau + 8\cos^2 2\tau}\,d\tau.
Por simetrias da integranda (periodicidade de v com período \pi e simetria em [0,\pi]) pode-se escrever também
L = 4\int_{0}^{\pi/2} \sqrt{2\sin^2\tau + 8\cos^2 2\tau}\,d\tau,
mas o valor explícito em funções elementares não aparece — trata‑se de uma integral elíptica em geral.
Como s(t) é estritamente crescente e contínua em [0,2\pi], existe a inversa t=t(s) definida em [0,L].

Passo 5

A reparametrização pelo comprimento de arco (isto é, a parametrização unitária) é então obtida compondo a curva original com a inversa t(s). Escrevo a parametrização unitária e verifico por que ela tem velocidade unitária:
\tilde{\vec r}(s) = \vec r\big(t(s)\big) = \big(\sqrt{2}\cos t(s),\;\sqrt{2}\sin(2t(s))\big),\qquad s\in[0,L].
Para ver que é de velocidade unitária calcule a derivada em s:
\frac{d}{ds}\tilde{\vec r}(s)=\vec r'\big(t(s)\big)\,t'(s).
Mas por diferenciação de s(t) vem s'(t)=v(t), logo t'(s)=1/v\big(t(s)\big). Assim
\frac{d}{ds}\tilde{\vec r}(s)=\frac{\vec r'\big(t(s)\big)}{v\big(t(s)\big)}
e portanto
\Big\|\frac{d}{ds}\tilde{\vec r}(s)\Big\|=\frac{\|\vec r'(t(s))\|}{v(t(s))}=1.
Isso confirma que \tilde{\vec r}(s) é uma parametrização pelo comprimento de arco.

Passo 6

Comentário prático e dica para a prova: normalmente, quando a integral que define s(t) não tem primitiva elementar (como neste caso, em que aparece uma integral do tipo elíptico), você deixa a reparametrização em forma inversa implicitamente, como fiz acima. Isso é perfeitamente aceitável: a reparametrização pelo comprimento de arco é a composição \vec r\circ s^{-1}. Se for necessário trabalhar numericamente com t(s) (por exemplo, para um valor específico de s), use métodos numéricos (Newton, bisseção) para inverter s(t)=\int_0^t v(\tau)\,d\tau. Para aproximações locais dá para usar a expansão linear:
v(0)=\sqrt{2\sin^2 0 + 8\cos^2 0}=\sqrt{8}=2\sqrt{2},
logo para pequenos s temos t(s)\approx s/(2\sqrt{2}) e
\tilde{\vec r}(s)\approx\big(\sqrt{2}\cos\big(\tfrac{s}{2\sqrt{2}}\big),\;\sqrt{2}\sin\big(\tfrac{s}{\sqrt{2}}\big)\big)
como aproximação de primeira ordem (útil para testes rápidos).

Resposta

\displaystyle \tilde{\vec r}(s)=\vec r\big(t(s)\big)=\big(\sqrt{2}\cos t(s),\;\sqrt{2}\sin(2t(s))\big), onde t(s) é a inversa da função
s(t)=\int_{0}^{t}\sqrt{2\sin^2\tau + 8\cos^2 2\tau}\,d\tau, \qquad 0\le s\le L,
e o comprimento total é
L=\int_{0}^{2\pi}\sqrt{2\sin^2\tau + 8\cos^2 2\tau}\,d\tau =4\int_{0}^{\pi/2}\sqrt{2\sin^2\tau + 8\cos^2 2\tau}\,d\tau.

Exercícios relacionados