Calcule.
\int(\ln x)^{2} d x

Passo 1

O enunciado pede calcular
\int (\ln x)^2\,dx.
Para isso, vamos usar integração por partes, baseada na fórmula
\int u\,dv = uv - \int v\,du,
que é indicada sempre que tivermos produto envolvendo logaritmo ou potência.

Passo 2

Escolhemos
u = (\ln x)^2, \quad dv = dx.
Então
du = 2\ln x\cdot\frac{1}{x}\,dx = \frac{2\ln x}{x}\,dx, \quad v = \int dx = x.

Passo 3

Aplicando a fórmula de partes:
\int(\ln x)^2\,dx = u\,v - \int v\,du = x(\ln x)^2 - \int x\cdot\frac{2\ln x}{x}\,dx = x(\ln x)^2 - 2\int \ln x\,dx.

Passo 4

Agora precisamos de \displaystyle \int \ln x\,dx. Repetimos partes com
\tilde u = \ln x, \quad d\tilde v = dx,
então
d\tilde u = \frac{1}{x}\,dx, \quad \tilde v = x,
e
\int\ln x\,dx = x\ln x - \int x\cdot\frac{1}{x}\,dx = x\ln x - \int 1\,dx = x\ln x - x.

Passo 5

Voltando à integral original:
\int(\ln x)^2\,dx = x(\ln x)^2 - 2\bigl(x\ln x - x\bigr) + C = x(\ln x)^2 - 2x\ln x + 2x + C.

Resposta

\int(\ln x)^2\,dx = x\bigl((\ln x)^2 - 2\ln x + 2\bigr) + C.

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