Calcule.
\int x \operatorname{sec} ^{2} x d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral indefinida \displaystyle \int x \operatorname{sec}^2 x \,dx.
O método mais adequado é a técnica de integração por partes, pois temos o produto de uma função polinomial x por uma função trigonométrica \operatorname{sec}^2 x.

Passo 2

Na fórmula de integração por partes
\int u\,dv = u\,v - \int v\,du,
escolhemos
u = x \quad\text{e}\quad dv = \operatorname{sec}^2 x\,dx.

Passo 3

Derivamos u e integramos dv:
du = dx,
e como \tfrac{d}{dx}(\tan x)=\operatorname{sec}^2 x, temos
v = \tan x.

Passo 4

Aplicando a fórmula de partes:
\int x \operatorname{sec}^2 x\,dx = x\,\tan x - \int \tan x\,dx.

Passo 5

Para \int \tan x\,dx lembramos que \tan x = \dfrac{\sin x}{\cos x} e sua integral é
\int \tan x\,dx = -\ln\bigl|\cos x\bigr| + C.

Passo 6

Substituindo de volta:
\int x \operatorname{sec}^2 x\,dx = x\tan x - \bigl(-\ln\lvert\cos x\rvert\bigr) + C = x\tan x + \ln\lvert\cos x\rvert + C.

Resposta

\int x \operatorname{sec}^2 x\,dx = x\tan x + \ln\bigl|\cos x\bigr| + C.

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