Calcule:
Passo 1
O que o problema pede: calcular a integral
Informações dadas e observações iniciais:
- O integrando é
. - O intervalo de integração é
. - Atenção:
não está definida em , portanto a integral é imprópria na extremidade inferior. Precisaremos interpretar como um limite .
Passo 2
Escolha do método: vamos encontrar uma primitiva de
para depois avaliar a integral imprópria. A maneira mais direta é usar a fórmula de integração por partes. Vou explicar essa fórmula e de onde ela vem.
Fórmula de integração por partes: se
é diferenciável e
tem derivada
, então
Derivação rápida da fórmula: parte da regra do produto
. Integrando ambos os lados,
Isolando
obtém-se a fórmula acima. Aqui
é a função que escolhemos para derivar e
é a parte que integramos;
é a derivada de
e
é a primitiva de
.
Passo 3
Aplicação ao caso
.
Escolhemos
porque derivar
simplifica e integrar
é trivial. Agora calculemos
e
:
Passo 4
Usando a fórmula de integração por partes:
Simplificando a integral do segundo termo:
Portanto uma primitiva é
onde
é constante de integração.
Passo 5
Voltando à integral imprópria: definimos
Calculemos
e
:
Logo
Passo 6
Avaliar os limites
e
.
Primeiro,
é óbvio. Para
usamos uma forma conveniente para aplicar a Regra de L’Hôpital: escrevemos
Quando
, temos
e
, então a expressão é do tipo
e podemos aplicar L’Hôpital. Derivando numerador e denominador em relação a
:
Pelo L’Hôpital,
Portanto
. Assim
Passo 7
Conclusão: a integral imprópria converge e seu valor é
. Você pode relembrar mentalmente: a área positiva de
entre
e
é exatamente cancelada pela área negativa entre
e
, resultando em zero — mas o argumento rigoroso está na primitiva e no cálculo do limite que fizemos acima.