Calcule:
\int_{0}^{e} \ln x d x

Passo 1

O que o problema pede: calcular a integral
\int_{0}^{e} \ln x \, dx.
Informações dadas e observações iniciais:
  • O integrando é \ln x.
  • O intervalo de integração é [0,e].
  • Atenção: \ln x não está definida em x=0, portanto a integral é imprópria na extremidade inferior. Precisaremos interpretar \int_{0}^{e} como um limite \lim_{a\to0^+}\int_{a}^{e}.

Passo 2

Escolha do método: vamos encontrar uma primitiva de \ln x para depois avaliar a integral imprópria. A maneira mais direta é usar a fórmula de integração por partes. Vou explicar essa fórmula e de onde ela vem.
Fórmula de integração por partes: se u=u(x) é diferenciável e v=v(x) tem derivada v'(x), então
\int u(x)\,v'(x)\,dx = u(x)v(x) - \int v(x)\,u'(x)\,dx.
Derivação rápida da fórmula: parte da regra do produto (u v)' = u'v + uv'. Integrando ambos os lados,
\int (u'v + uv')\,dx = \int (u v)'\,dx = u v.
Isolando \int u v'\,dx obtém-se a fórmula acima. Aqui u é a função que escolhemos para derivar e v' é a parte que integramos; u' é a derivada de u e v é a primitiva de v'.

Passo 3

Aplicação ao caso \int \ln x\,dx.
Escolhemos
u = \ln x \quad\text{e}\quad v' = 1
porque derivar \ln x simplifica e integrar 1 é trivial. Agora calculemos u' e v:
u' = \frac{d}{dx}(\ln x) = \frac{1}{x},\qquad v = \int 1\,dx = x.

Passo 4

Usando a fórmula de integração por partes:
\int \ln x\,dx = u v - \int v\,u'\,dx = x\ln x - \int x\cdot\frac{1}{x}\,dx.
Simplificando a integral do segundo termo:
\int x\cdot\frac{1}{x}\,dx = \int 1\,dx = x.
Portanto uma primitiva é
F(x) = x\ln x - x + C,
onde C é constante de integração.

Passo 5

Voltando à integral imprópria: definimos
\int_{0}^{e} \ln x\,dx = \lim_{a\to0^+}\int_{a}^{e} \ln x\,dx = \lim_{a\to0^+}\bigl(F(e)-F(a)\bigr).
Calculemos F(e) e F(a):
F(e) = e\ln e - e = e\cdot 1 - e = 0.
F(a) = a\ln a - a.
Logo
\int_{0}^{e} \ln x\,dx = \lim_{a\to0^+}\bigl(0 - (a\ln a - a)\bigr) = \lim_{a\to0^+}(-a\ln a + a).

Passo 6

Avaliar os limites \lim_{a\to0^+} a\ln a e \lim_{a\to0^+} a.
Primeiro, \lim_{a\to0^+} a = 0 é óbvio. Para \lim_{a\to0^+} a\ln a usamos uma forma conveniente para aplicar a Regra de L’Hôpital: escrevemos
a\ln a = \frac{\ln a}{1/a}.
Quando a\to0^+, temos \ln a \to -\infty e 1/a\to +\infty, então a expressão é do tipo -\infty/\infty e podemos aplicar L’Hôpital. Derivando numerador e denominador em relação a a:
\frac{d}{da}(\ln a) = \frac{1}{a},\qquad \frac{d}{da}\left(\frac{1}{a}\right) = -\frac{1}{a^{2}}.
Pelo L’Hôpital,
\lim_{a\to0^+}\frac{\ln a}{1/a} = \lim_{a\to0^+}\frac{1/a}{-1/a^{2}} = \lim_{a\to0^+}(-a) = 0.
Portanto \lim_{a\to0^+} a\ln a = 0. Assim
\lim_{a\to0^+}(-a\ln a + a) = -0 + 0 = 0.

Passo 7

Conclusão: a integral imprópria converge e seu valor é 0. Você pode relembrar mentalmente: a área positiva de \ln x entre 1 e e é exatamente cancelada pela área negativa entre 0 e 1, resultando em zero — mas o argumento rigoroso está na primitiva e no cálculo do limite que fizemos acima.

Resposta

0

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