Verifique se as seguintes funções são contínuas, e diga quando as descontinuidades são removíveis.
f(x)=\cos 2 x

Passo 1

O enunciado dá a função f definida por f(x)=\cos 2x.
Pede-se: verificar se essa função é contínua e, caso haja descontinuidades, dizer quando elas são removíveis.
Informações relevantes: a expressão explícita de f é f(x)=\cos 2x para x\in\mathbb{R}. Não há nenhuma outra restrição no enunciado.

Passo 2

Lembra do que significa “função contínua num ponto”? Vou explicar com calma.
Uma função f é contínua em um ponto a se o limite de f(x) quando x tende a a existe e é igual ao valor da função em a. Em símbolos:
\text{f é contínua em }a\quad\Longleftrightarrow\quad\lim_{x\to a} f(x)=f(a).éí
Se isso vale para todo a no domínio, a função é contínua em todo o domínio. Isso é a definição que vamos usar passo a passo.

Passo 3

Agora observe a função f como uma composição de duas funções mais simples: a função linear g(x)=2x e a função trigonométrica h(t)=\cos t. Escrevemos
f(x)=(h\circ g)(x)=h(g(x))=\cos(2x).
Então, para estudar a continuidade de f, basta estudar a continuidade de g e de h e aplicar a ideia de composição.

Passo 4

Propriedade 1: a função linear g(x)=2x é contínua em todo \mathbb{R}. Prova rápida e direta:
\lim_{x\to a} g(x)=\lim_{x\to a} 2x = 2\lim_{x\to a} x = 2a = g(a).
Aqui usei a propriedade básica de limites que permite tirar constantes para fora do limite. Assim g é contínua para qualquer a.

Passo 5

Propriedade 2: a função h(t)=\cos t é contínua em todo \mathbb{R}. Motivação simples (sem provar séries): a função cosseno é uma função trigonométrica elementar conhecida por ser contínua para todo t; em cursos teóricos isso se demonstra, por exemplo, a partir de sua série de Taylor ou da definição geométrica e limites das funções trigonométricas. O fato prático que precisamos é:
\lim_{t\to t_0}\cos t=\cos t_0\quad\text{para todo }t_0\in\mathbb{R}.

Passo 6

Agora usamos a regra de continuidade de composições: se g é contínua em a e h é contínua em g(a), então h\circ g é contínua em a. Aplicando ao nosso caso: para qualquer a\in\mathbb{R} temos g contínua em a e h contínua em g(a)=2a. Logo f=h\circ g é contínua em a. Como a foi arbitrário, f é contínua em todo \mathbb{R}.
Também dá para ver direto com limites:
\lim_{x\to a} f(x)=\lim_{x\to a}\cos(2x)=\cos\!\big(\lim_{x\to a}2x\big)=\cos(2a)=f(a),
onde usei a continuidade de \cos para trocar limite com \cos e a continuidade da função linear para calcular \lim_{x\to a}2x.

Passo 7

Conclusão sobre descontinuidades: como f é contínua em todo ponto de \mathbb{R}, não existem pontos de descontinuidade. Em particular, não há descontinuidades removíveis (porque não há descontinuidade alguma). Dica prática para a prova: quando a função for uma composição de funções elementares que você já sabe ser contínuas (polinômios, funções polinomiais/lineares, \sin,\cos,e^x,\ln em seus domínios, etc.), basta citar que cada parte é contínua e que a composição preserva continuidade — isso resolve rápido.

Resposta

f é contínua em todo \mathbb{R}.
Não existem descontinuidades removíveis.

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