Verifique se as seguintes funções são contínuas, e diga quando as descontinuidades são removíveis.
Passo 1
O enunciado dá a função
definida por
.
Pede-se: verificar se essa função é contínua e, caso haja descontinuidades, dizer quando elas são removíveis.
Informações relevantes: a expressão explícita de é
para
. Não há nenhuma outra restrição no enunciado.
Pede-se: verificar se essa função é contínua e, caso haja descontinuidades, dizer quando elas são removíveis.
Informações relevantes: a expressão explícita de
Passo 2
Lembra do que significa “função contínua num ponto”? Vou explicar com calma.
Uma função é contínua em um ponto
se o limite de
quando
tende a
existe e é igual ao valor da função em
. Em símbolos:
Uma função
Se isso vale para todo
no domínio, a função é contínua em todo o domínio. Isso é a definição que vamos usar passo a passo.
Passo 3
Agora observe a função
como uma composição de duas funções mais simples: a função linear
e a função trigonométrica
. Escrevemos
Então, para estudar a continuidade de
, basta estudar a continuidade de
e de
e aplicar a ideia de composição.
Passo 4
Propriedade 1: a função linear
é contínua em todo
. Prova rápida e direta:
Aqui usei a propriedade básica de limites que permite tirar constantes para fora do limite. Assim
é contínua para qualquer
.
Passo 5
Propriedade 2: a função
é contínua em todo
. Motivação simples (sem provar séries): a função cosseno é uma função trigonométrica elementar conhecida por ser contínua para todo
; em cursos teóricos isso se demonstra, por exemplo, a partir de sua série de Taylor ou da definição geométrica e limites das funções trigonométricas. O fato prático que precisamos é:
Passo 6
Agora usamos a regra de continuidade de composições: se
é contínua em
e
é contínua em
, então
é contínua em
. Aplicando ao nosso caso: para qualquer
temos
contínua em
e
contínua em
. Logo
é contínua em
. Como
foi arbitrário,
é contínua em todo
.
Também dá para ver direto com limites:
onde usei a continuidade de
para trocar limite com
e a continuidade da função linear para calcular
.
Passo 7
Conclusão sobre descontinuidades: como
é contínua em todo ponto de
, não existem pontos de descontinuidade. Em particular, não há descontinuidades removíveis (porque não há descontinuidade alguma). Dica prática para a prova: quando a função for uma composição de funções elementares que você já sabe ser contínuas (polinômios, funções polinomiais/lineares,
em seus domínios, etc.), basta citar que cada parte é contínua e que a composição preserva continuidade — isso resolve rápido.
Resposta
Não existem descontinuidades removíveis.