Suponha-se que a velocidade de uma partícula móvel seja v=30-2 t \mathrm{~m} / \mathrm{s}. Ache a distância resultante e a distância total que ela percorre entre os instantes \mathrm{t}=0 e \mathrm{t}=20 \mathrm{~s}.

Passo 1

O enunciado dá a velocidade da partícula e pede duas quantidades entre os instantes t=0 e t=20\\ \mathrm{s}:
  • Dado: a velocidade é v(t)=30-2t\\ \mathrm{m/s}.
  • Pedido 1: a distância resultante (deslocamento) entre t=0 e t=20\\ \mathrm{s}.
  • Pedido 2: a distância total percorrida entre t=0 e t=20\\ \mathrm{s}.
Listando as informações relevantes que vamos usar:
  • A função velocidade é linear em t: v(t)=30-2t.
  • O intervalo de tempo é [\,0,\,20\,] segundos.
  • Unidade de velocidade: \mathrm{m/s}. Unidade de distância: \mathrm{m}.

Passo 2

Explicando os conceitos que precisamos usar (aula rápida e direta):
  • Deslocamento (distância resultante) é a variação da posição no intervalo considerado; matematicamente é a integral da velocidade sem módulo:
\text{deslocamento}=\int_{t_1}^{t_2} v(t)\,dt.
Aqui v(t) é a velocidade instantânea em \mathrm{m/s}, t é o tempo em \mathrm{s}, e a integral dá a distância orientada em \mathrm{m}.
  • Distância total percorrida é a soma das distâncias percorridas, sempre positiva; usamos a integral do valor absoluto da velocidade:
\text{distância total}=\int_{t_1}^{t_2} |v(t)|\,dt.â
Ou, na prática, identificamos quando v(t) muda de sinal, quebramos o intervalo nesses pontos e somamos as integrais com sinais que tornam cada contribuição positiva.
Por que isso? Se a velocidade ficar negativa, a partícula está voltando na direção oposta; a integral sem módulo desconta essa volta (por isso é deslocamento), enquanto a integral do módulo conta o caminho percorrido independentemente da direção.

Passo 3

Vamos ver se a velocidade muda de sinal no intervalo [\,0,\,20\,]. Encontramos quando v(t)=0:
30-2t=0 \implies 2t=30 \implies t=15\\ \mathrm{s}.
Então v(t)>0 para 0\le t<15 (partícula se move em um sentido) e v(t)<0 para 15<t\le20 (muda de sentido e volta no outro sentido). Podemos confirmar com um teste rápido: por exemplo v(10)=30-20=10>0 e v(17)=30-34=-4<0.
Portanto para a distância total precisaremos separar integrais em [\,0,\,15\,] e [\,15,\,20\,].

Passo 4

Calcular o deslocamento (distância resultante) entre t=0 e t=20.
Primeiro encontramos uma antiderivada de v(t). Como v(t)=30-2t, uma primitiva é
V(t)=\int (30-2t)\,dt=30t-t^2,
porque \dfrac{d}{dt}(30t-t^2)=30-2t. Aqui V(t) tem unidades de \mathrm{m}.
Agora avaliamos a integral definida:
\int_{0}^{20} (30-2t)\,dt = \big[30t-t^2\big]_{0}^{20}.
Calculando:
\big[30t-t^2\big]_{0}^{20} = (30\cdot 20 - 20^2) - (30\cdot 0 - 0^2).
Fazendo as contas (tudo em \mathrm{m}):
30\cdot 20 = 600,\qquad 20^2=400,
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600-400=200.
Portanto o deslocamento (distância resultante, orientada) entre t=0 e t=20 é 200\\ \mathrm{m}.

Passo 5

Calcular a distância total percorrida entre t=0 e t=20.
Como vimos, a velocidade muda de sinal em t=15. Então:
\text{distância total}=\int_{0}^{15} v(t)\,dt \;+\; \int_{15}^{20} |v(t)|\,dt.â
No primeiro intervalo v(t)\ge 0, então |v(t)|=v(t). No segundo intervalo v(t)\le 0, então |v(t)|=-v(t).
  1. Integral de 0 a 15:
\int_{0}^{15} (30-2t)\,dt = \big[30t-t^2\big]_{0}^{15}.
Calculando:
30\cdot 15=450,\qquad 15^2=225,
então
\big[30t-t^2\big]_{0}^{15} = 450-225=225\\ \mathrm{m}.
  1. Integral de 15 a 20 do módulo: |v(t)|=-(30-2t)=2t-30. Assim
\int_{15}^{20} |v(t)|\,dt = \int_{15}^{20} (2t-30)\,dt.
Uma primitiva de 2t-30 é t^2-30t. Avaliando:
\big[t^2-30t\big]_{15}^{20} = (20^2-30\cdot 20) - (15^2-30\cdot 15).
Calculando cada termo:
20^2=400,\quad 30\cdot 20=600 \implies 400-600=-200,
15^2=225,\quad 30\cdot 15=450 \implies 225-450=-225.
Subtraindo:
(-200)-(-225)=25\\ \mathrm{m}.
Somando as duas partes para obter a distância total:
\text{distância total}=225\\ \mathrm{m} + 25\\ \mathrm{m} = 250\\ \mathrm{m}.â

Resposta

200\\ \mathrm{m}
250\\ \mathrm{m}

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