Suponha-se que a velocidade de uma partícula móvel seja
. Ache a distância resultante e a distância total que ela percorre entre os instantes
e
.
Passo 1
O enunciado dá a velocidade da partícula e pede duas quantidades entre os instantes
e
:
- Dado: a velocidade é
. - Pedido 1: a distância resultante (deslocamento) entre
e . - Pedido 2: a distância total percorrida entre
e .
Listando as informações relevantes que vamos usar:
- A função velocidade é linear em
: . - O intervalo de tempo é
segundos. - Unidade de velocidade:
. Unidade de distância: .
Passo 2
Explicando os conceitos que precisamos usar (aula rápida e direta):
- Deslocamento (distância resultante) é a variação da posição no intervalo considerado; matematicamente é a integral da velocidade sem módulo:
Aqui
é a velocidade instantânea em
,
é o tempo em
, e a integral dá a distância orientada em
.
- Distância total percorrida é a soma das distâncias percorridas, sempre positiva; usamos a integral do valor absoluto da velocidade:
Ou, na prática, identificamos quando
muda de sinal, quebramos o intervalo nesses pontos e somamos as integrais com sinais que tornam cada contribuição positiva.
Por que isso? Se a velocidade ficar negativa, a partícula está voltando na direção oposta; a integral sem módulo desconta essa volta (por isso é deslocamento), enquanto a integral do módulo conta o caminho percorrido independentemente da direção.
Passo 3
Vamos ver se a velocidade muda de sinal no intervalo
. Encontramos quando
:
Então
para
(partícula se move em um sentido) e
para
(muda de sentido e volta no outro sentido). Podemos confirmar com um teste rápido: por exemplo
e
.
Portanto para a distância total precisaremos separar integrais em
e
.
Passo 4
Calcular o deslocamento (distância resultante) entre
e
.
Primeiro encontramos uma antiderivada de
. Como
, uma primitiva é
porque
. Aqui
tem unidades de
.
Agora avaliamos a integral definida:
Calculando:
Fazendo as contas (tudo em
):
logo
Portanto o deslocamento (distância resultante, orientada) entre
e
é
.
Passo 5
Calcular a distância total percorrida entre
e
.
Como vimos, a velocidade muda de sinal em
. Então:
No primeiro intervalo
, então
. No segundo intervalo
, então
.
- Integral de
a :
Calculando:
então
- Integral de
a do módulo: . Assim
Uma primitiva de
é
. Avaliando:
Calculando cada termo:
Subtraindo:
Somando as duas partes para obter a distância total: