Calcule \int_{C} \mathbf{F} \cdot d \mathbf{r} ao longo da curva C
\begin{aligned}& \mathbf{F}(x, y, z)=(x-2 y) \mathbf{i}+x y \mathbf{j} \\& C: \mathbf{r}(t)=3 \cos t \mathbf{i}+2 \sin t \mathbf{j} \quad 0 \leq t \leq \pi / 2\end{aligned}

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral de linha
\int_{C}\mathbf{F}\cdot d\mathbf{r}
onde \mathbf{F}(x,y,z)=(x-2y)\mathbf{i}+xy\,\mathbf{j} e a curva C está dada por
\mathbf{r}(t)=(x(t),y(t))=(3\cos t,\,2\sin t),\quad 0\le t\le \tfrac{\pi}{2}.
O conteúdo é integral de linha de um campo vetorial em \mathbb{R}^2. Vamos usar a parametrização para transformar em integral em t.

Passo 2

Primeiro, calculamos a derivada da parametrização:
x(t)=3\cos t,\quad y(t)=2\sin t
x'(t)=-3\sin t,\quad y'(t)=2\cos t.
Também avaliamos \mathbf{F} ao longo de \mathbf{r}(t):
P(x,y)=x-2y\quad\Longrightarrow\quad P(t)=3\cos t-4\sin t,
Q(x,y)=xy\quad\Longrightarrow\quad Q(t)=6\sin t\cos t.

Passo 3

Usamos a fórmula
\int_{C}\mathbf{F}\cdot d\mathbf{r} =\int_{0}^{\pi/2}\bigl[P(t)\,x'(t)+Q(t)\,y'(t)\bigr]dt.
Substituindo,
P(t)\,x'(t)+Q(t)\,y'(t) =(3\cos t-4\sin t)(-3\sin t)+6\sin t\cos t\,(2\cos t).
Expandindo,
=-9\sin t\cos t+12\sin^2 t+12\sin t\cos^2 t.

Passo 4

Quebramos em quatro integrais:
I_1=-9\int_{0}^{\pi/2}\sin t\cos t\,dt,
I_2=12\int_{0}^{\pi/2}\sin^2 t\,dt,
I_3=12\int_{0}^{\pi/2}\sin t\,dt,
I_4=12\int_{0}^{\pi/2}\sin t\cos^2 t\,dt.
Calculamos cada uma:
I_1=-9\Bigl[\tfrac12\sin^2 t\Bigr]_{0}^{\pi/2}=-\tfrac{9}{2},
I_2=12\Bigl[\tfrac{t}{2}-\tfrac{\sin(2t)}{4}\Bigr]_{0}^{\pi/2} =12\Bigl(\tfrac{\pi}{4}\Bigr)=3\pi,
I_3=12[-\cos t]_{0}^{\pi/2}=12(1)=12,
I_4=12\int_{0}^{\pi/2}\sin t(1-\sin^2 t)\,dt =12\Bigl[-\cos t+\tfrac{\cos^3 t}{3}\Bigr]_{0}^{\pi/2}=-8.

Passo 5

Somando:
\int_{C}\mathbf{F}\cdot d\mathbf{r} =I_1+I_2+I_3+I_4 =-\tfrac{9}{2}+3\pi+12-8 =3\pi-\tfrac{1}{2}.

Resposta

3\pi-\tfrac{1}{2}

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