Calcule \int_{C} \mathbf{F} \cdot d \mathbf{r} ao longo da curva C
\begin{array}{lll}\mathbf{F}(x, y, z) & =2 x y \mathbf{i}-3 x \mathbf{j} & \C: \mathbf{r}(t) & =3 t \mathbf{i}-t \mathbf{j} \quad 0 \leq t \leq 1\end{array}

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral de linha
\int_{C}\mathbf{F}\cdot d\mathbf{r}
onde a campo vetorial é
\mathbf{F}(x,y,z)=2xy\,\mathbf{i}-3x\,\mathbf{j}
e a curva C é dada pela parametrização
\mathbf{r}(t)=3t\,\mathbf{i}-t\,\mathbf{j},\quad 0\le t\le1.
O conteúdo da matéria é integral de linha de um campo vetorial por parametrização. Vamos usar a substituição \mathbf{r}(t), calcular \mathbf{F}(\mathbf{r}(t)), \mathbf{r}'(t), tomar o produto escalar e depois integrar em t.

Passo 2

Substituímos x e y na expressão de \mathbf{F} usando a parametrização
\begin{cases}x=3t,\y=-t.\end{cases}
Logo,
\mathbf{F}(\mathbf{r}(t))=2\,(3t)\,(-t)\,\mathbf{i}-3\,(3t)\,\mathbf{j}=-6t^2\,\mathbf{i}-9t\,\mathbf{j}.

Passo 3

Calculamos a derivada da parametrização para obter d\mathbf{r}/dt:
\mathbf{r}'(t)=\frac{d}{dt}(3t\,\mathbf{i}-t\,\mathbf{j})=3\,\mathbf{i}-1\,\mathbf{j}.

Passo 4

Fazemos o produto escalar \mathbf{F}(\mathbf{r}(t))\cdot \mathbf{r}'(t):
\bigl(-6t^2\,\mathbf{i}-9t\,\mathbf{j}\bigr)\cdot\bigl(3\,\mathbf{i}-\mathbf{j}\bigr) =(-6t^2)\cdot3+(-9t)\cdot(-1)=-18t^2+9t.

Passo 5

Escrevemos a integral em termos de t:
\int_{C}\mathbf{F}\cdot d\mathbf{r} =\int_{0}^{1}\bigl(-18t^2+9t\bigr)\,dt.

Passo 6

Integramos em t:
\int_{0}^{1}(-18t^2+9t)\,dt =\bigl[-6t^3+\tfrac{9}{2}t^2\bigr]_{0}^{1} =-6\cdot1^3+\tfrac{9}{2}\cdot1^2-0 =-6+\tfrac{9}{2}=-\tfrac{12}{2}+\tfrac{9}{2}=-\tfrac{3}{2}.

Resposta

\int_{C}\mathbf{F}\cdot d\mathbf{r}=-\tfrac{3}{2}.

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