(3) Calcule \int_{D} \int 6 r y^{3} d A, ond D=\left\{(x, y) \in \mathbb{R}^{2} \mid x^{2}+y^{2} \leq 1 . x \geq 0 . y \geq 0\right\}.

Passo 1

O enunciado pede calcular a integral
\iint_{D}6\,r\,y^{3}\,dA
onde
D=\bigl\{(x,y)\in\mathbb{R}^2\mid x^2+y^2\le1,\;x\ge0,\;y\ge0\bigr\}.
O conteúdo é integração dupla em coordenadas polares. Vamos usar
x=r\cos\theta,\quad y=r\sin\theta,\quad dA=r\,dr\,d\theta,
com 0\le r\le1 e 0\le\theta\le\tfrac{\pi}{2}.

Passo 2

Em coordenadas polares, y=r\sin\theta. A integral vira
\int_{0}^{\pi/2}\int_{0}^{1}6\,r\,(r\sin\theta)^{3}\,\bigl(r\,dr\,d\theta\bigr) =\int_{0}^{\pi/2}\int_{0}^{1}6\,r^{5}\,\sin^{3}\theta\,dr\,d\theta.

Passo 3

Separamos as integrais por separabilidade:
\int_{0}^{1}6\,r^{5}\,dr =6\left[\frac{r^{6}}{6}\right]_{0}^{1} =1.
Logo a integral original reduz-se a
\int_{0}^{\pi/2}\sin^{3}\theta\,d\theta.

Passo 4

Para calcular \displaystyle\int_{0}^{\pi/2}\sin^{3}\theta\,d\theta, escrevemos \sin^{3}\theta=\sin\theta\,(1-\cos^{2}\theta) e fazemos u=\cos\theta, du=-\sin\theta\,d\theta:
\int_{0}^{\pi/2}\sin^{3}\theta\,d\theta =\int_{u=1}^{u=0}(1-u^{2})(-du) =\int_{0}^{1}(1-u^{2})\,du =\Bigl[u-\tfrac{u^{3}}{3}\Bigr]_{0}^{1} =1-\tfrac{1}{3} =\tfrac{2}{3}.

Resposta

\iint_{D}6\,r\,y^{3}\,dA=\tfrac{2}{3}.

Exercícios relacionados