(4) Calcule a integral tripla
onde
.
Passo 1
O enunciado pede a integral tripla
no conjunto
O conteúdo é mudança para coordenadas cilíndricas e cálculo de integrais iteradas.
Passo 2
Para que exista
com
precisamos
Além disso
define o primeiro quadrante. A projeção no plano
é o setor de raio
e ângulo de
a
.
Passo 3
Usamos coordenadas cilíndricas
com
,
e
. O elemento de volume é
.
Passo 4
Em cilíndricas temos
e o integrando vira
Integramos primeiro em
:
Logo a integral fica
Passo 5
Separamos as integrais em
e
:
Para
, use
,
:
Para
:
Passo 6
Multiplicando tudo: