(4) Calcule a integral tripla
\iint_{E} \int 60 x^{2} y=d V .
onde E=\left\{(x, y, z) \in \Re^{3} \mid x^{2}+y^{2} \leq z \leq 32-x^{2}-y^{2}, x \geq 0, y \geq 0\right\}.

Passo 1

O enunciado pede a integral tripla
\iiint_{E}60x^{2}y\,dV
no conjunto
E=\{(x,y,z)\in\mathbb{R}^{3}\mid x^{2}+y^{2}\le z\le 32 - x^{2}-y^{2},\;x\ge0,\;y\ge0\}.
O conteúdo é mudança para coordenadas cilíndricas e cálculo de integrais iteradas.

Passo 2

Para que exista z com x^{2}+y^{2}\le z\le 32 - x^{2}-y^{2} precisamos
x^{2}+y^{2}\le 32 - x^{2}-y^{2} \quad\Longrightarrow\quad 2(x^{2}+y^{2})\le 32 \quad\Longrightarrow\quad x^{2}+y^{2}\le16.
Além disso x\ge0,\;y\ge0 define o primeiro quadrante. A projeção no plano xy é o setor de raio 4 e ângulo de 0 a \pi/2.

Passo 3

Usamos coordenadas cilíndricas
x=r\cos\theta,\quad y=r\sin\theta,\quad z=z,
com r\in[0,4], \theta\in[0,\tfrac{\pi}{2}] e z\in[r^{2},\,32 - r^{2}]. O elemento de volume é dV = r\,dz\,dr\,d\theta.

Passo 4

Em cilíndricas temos
x^{2}y = (r\cos\theta)^{2}(r\sin\theta)=r^{3}\cos^{2}\theta\,\sin\theta
e o integrando vira
60x^{2}y\,dV = 60\,r^{3}\cos^{2}\theta\,\sin\theta \cdot r\,dz\,dr\,d\theta =60\,r^{4}\cos^{2}\theta\,\sin\theta\,dz\,dr\,d\theta.
Integramos primeiro em z:
\int_{z=r^{2}}^{\,32-r^{2}}dz = (32 - r^{2}) - r^{2} = 32 - 2r^{2}.
Logo a integral fica
\int_{0}^{\pi/2}\!\int_{0}^{4}60\,r^{4}\cos^{2}\theta\,\sin\theta\,(32-2r^{2})\,dr\,d\theta.

Passo 5

Separamos as integrais em r e \theta:
60\Bigl[\int_{0}^{\pi/2}\cos^{2}\theta\,\sin\theta\,d\theta\Bigr] \Bigl[\int_{0}^{4}r^{4}(32-2r^{2})\,dr\Bigr].
Para \theta, use u=\cos\theta, du=-\sin\theta\,d\theta:
\int_{0}^{\pi/2}\cos^{2}\theta\,\sin\theta\,d\theta =\int_{u=1}^{0}u^{2}(-du) =\int_{0}^{1}u^{2}du =\tfrac{1}{3}.
Para r:
\int_{0}^{4}r^{4}(32-2r^{2})\,dr =\int_{0}^{4}(32r^{4}-2r^{6})\,dr =\Bigl[\tfrac{32r^{5}}{5}-\tfrac{2r^{7}}{7}\Bigr]_{0}^{4} =\frac{32\cdot4^{5}}{5}-\frac{2\cdot4^{7}}{7} =\frac{32768}{5}-\frac{32768}{7} =\frac{32768\cdot2}{35} =\frac{65536}{35}.

Passo 6

Multiplicando tudo:
60\cdot\frac{1}{3}\cdot\frac{65536}{35} =20\cdot\frac{65536}{35} =\frac{1310720}{35} =\frac{262144}{7}.

Resposta

\iiint_{E}60x^{2}y\,dV =\frac{262144}{7}.

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