O divergente de um campo vetorial \vec{F}=(P, Q, R) é un campo escalar definido por \operatorname{div}(\vec{F})=\vec{\nabla} \cdot \vec{F}=\frac{\partial P}{\partial x}+\frac{\partial Q}{\partial y}+\frac{\partial R}{\partial z}. Se \vec{F}(x, y, z)=\left(y^{3}, x^{3}, z^{3}\right) é um campo vetorial, então calcule a integral tripla \iint_{E} \int \operatorname{div}(\vec{F}) d V, onde E é o sólido definido por E=\left\{(x, y, z) \in \mathbb{R}^{3} \mid x^{2}+y^{2}+z^{2} \leq 1\right\}.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral tripla
\iiint_{E}\operatorname{div}(\vec F)\,dV
onde \vec F(x,y,z)=(y^{3},x^{3},z^{3}) e
E=\{(x,y,z)\in\mathbb R^{3}\mid x^{2}+y^{2}+z^{2}\le1\}
é a bola unitária.
Conteúdo: divergente de campo vetorial e integração em coordenadas esféricas.

Passo 2

Usamos a definição
\operatorname{div}(\vec F) =\frac{\partial}{\partial x}(y^{3}) +\frac{\partial}{\partial y}(x^{3}) +\frac{\partial}{\partial z}(z^{3}).
Como \partial(y^{3})/\partial x=0, \partial(x^{3})/\partial y=0 e \partial(z^{3})/\partial z=3z^{2}, segue
\operatorname{div}(\vec F)=3z^{2}.

Passo 3

A integral fica
\iiint_{E}3z^{2}\,dV.
Em coordenadas esféricas (\rho,\varphi,\theta) temos
z=\rho\cos\varphi, \quad dV=\rho^{2}\sin\varphi\,d\rho\,d\varphi\,d\theta,
e os limites \rho\in[0,1], \varphi\in[0,\pi], \theta\in[0,2\pi]. Logo
\iiint_{E}3z^{2}\,dV =3\int_{0}^{2\pi}\!\int_{0}^{\pi}\!\int_{0}^{1} (\rho\cos\varphi)^{2}\,\rho^{2}\sin\varphi \,d\rho\,d\varphi\,d\theta.

Passo 4

Calcular a parte radial:
\int_{0}^{1}\rho^{4}\,d\rho =\frac{1}{5}.

Passo 5

Calcular as partes angulares:
\int_{0}^{2\pi}d\theta=2\pi, \quad \int_{0}^{\pi}\cos^{2}\varphi\sin\varphi\,d\varphi =\int_{u=1}^{-1}u^{2}(-du) =\int_{-1}^{1}u^{2}du =\frac{2}{3}.

Passo 6

Juntando tudo:
3\times\frac{1}{5}\times2\pi\times\frac{2}{3} =\frac{4\pi}{5}.

Resposta

\displaystyle \frac{4\pi}{5}

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