(5) O divergente de um campo vetorial \vec{F}=(P, Q, R) é um campo escalar definido por \operatorname{div}(\vec{F})=\vec{\nabla} \cdot \vec{F}=\frac{\partial P}{\partial x}+\frac{\partial Q}{\partial y}+\frac{\partial R}{\partial z}. Se \vec{F}(x, y, z)=\left(y^{3}, x^{3}, z^{3}\right) é um campo vetorial, então calcule ât integral tripla \iint_{E} \int \operatorname{div}(\vec{F}) d V, onde E é o sólido definido por E=\left\{(x, y, z) \in \mathbb{R}^{3} \mid x^{2}+y^{2}+z^{2} \leq 25, z \geq 0\right\}.

Passo 1

O enunciado dá um campo vetorial \vec F(x,y,z)=(y^{3},x^{3},z^{3}) e pede a integral tripla
\iiint_{E}\div(\vec F)\,dV,
onde E é o hemisfério de raio 5 acima do plano z=0, ou seja
E=\{(x,y,z)\in\mathbb R^3\mid x^{2}+y^{2}+z^{2}\le25,\;z\ge0\}.
O conteúdo é cálculo de divergente e uso de coordenadas esféricas para avaliar a integral de volume.

Passo 2

Calculamos o divergente de \vec F usando
\div(\vec F) =\frac{\partial}{\partial x}(y^3) +\frac{\partial}{\partial y}(x^3) +\frac{\partial}{\partial z}(z^3).
As duas primeiras derivadas são zero e a última é 3z^2. Logo,
\div(\vec F)=3z^{2}.

Passo 3

A integral torna-se
\iiint_{E}3z^{2}\,dV.
Em coordenadas esféricas usamos
x=\rho\sin\varphi\cos\theta,\quad y=\rho\sin\varphi\sin\theta,\quad z=\rho\cos\varphi,
com
\rho\in[0,5], \varphi\in[0,\pi/2], \theta\in[0,2\pi], e
dV=\rho^{2}\sin\varphi\,d\rho\,d\varphi\,d\theta.
Substituindo z=\rho\cos\varphi, o integrando fica
3(\rho\cos\varphi)^{2}\,\rho^{2}\sin\varphi =3\rho^{4}\cos^{2}\varphi\sin\varphi.

Passo 4

Escrevemos a integral separada:
\iiint_{E}3z^{2}\,dV =\int_{0}^{2\pi}\!\!\int_{0}^{\pi/2}\!\!\int_{0}^{5} 3\rho^{4}\cos^{2}\varphi\sin\varphi \,d\rho\,d\varphi\,d\theta.
Integramos em \rho:
\int_{0}^{5}3\rho^{4}\,d\rho =3\cdot\frac{\rho^{5}}{5}\Big|_{0}^{5} =3\cdot\frac{5^{5}}{5} =3\cdot625 =1875.

Passo 5

Agora a parte em \varphi e \theta:
\int_{0}^{\pi/2}\cos^{2}\varphi\sin\varphi\,d\varphi,
fazendo u=\cos\varphi, du=-\sin\varphi\,d\varphi, obtemos
\int_{0}^{\pi/2}\cos^{2}\varphi\sin\varphi\,d\varphi =\int_{1}^{0}u^{2}(-du) =\int_{0}^{1}u^{2}\,du =\frac{1}{3}.
A integração em \theta
\int_{0}^{2\pi}d\theta=2\pi.

Passo 6

Multiplicando todos os resultados:
1875\;\times\;\frac{1}{3}\;\times\;2\pi =625\;\times\;2\pi =1250\pi.

Resposta

1250\pi.

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