Exercicio 6.8. Se z(u, v)=f(g(u, v), h(u, v)). Encontre \frac{\partial z}{\partial u} e \frac{\partial z}{\partial v} em termos das derivadas parciais de \frac{\partial f}{\partial x}, \frac{\partial f}{\partial y}, \frac{\partial g}{\partial u}, \frac{\partial g}{\partial v}, \frac{\partial h}{\partial u} e \frac{\partial h}{\partial v}.

Passo 1

O enunciado diz que z(u,v)=f(g(u,v),\,h(u,v)). Preciso encontrar as derivadas parciais \frac{\partial z}{\partial u} e \frac{\partial z}{\partial v} em termos de \frac{\partial f}{\partial x},\\ \frac{\partial f}{\partial y},\\ \frac{\partial g}{\partial u},\\ \frac{\partial g}{\partial v},\\ \frac{\partial h}{\partial u} e \frac{\partial h}{\partial v}.
Informações relevantes fornecidas:
  • f é uma função de duas variáveis (x,y)\mapsto z.
  • g e h são funções de (u,v).
  • x será substituído por g(u,v) e y por h(u,v) na composição.
  • Queremos expressar \frac{\partial z}{\partial u} e \frac{\partial z}{\partial v} usando as derivadas parciais dadas.

Passo 2

Para organizar a ideia, introduzimos as notações
x = g(u,v),\qquad y = h(u,v),
de modo que
z(u,v)=f(x,y)\quad\text{com}\quad x=g(u,v),\\ y=h(u,v).
Aqui \frac{\partial f}{\partial x}(x,y) é a taxa de variação de f quando só x muda (mantendo y fixo), e \frac{\partial f}{\partial y}(x,y) é a taxa de variação de f quando só y muda (mantendo x fixo). Já \frac{\partial g}{\partial u} indica quanto x muda quando u muda (com v fixo), e assim por diante.

Passo 3

Vamos usar a ideia do diferencial total. Se z=f(x,y) com x=x(u,v) e y=y(u,v), então o diferencial (fórmula do diferencial total) é
dz=\frac{\partial f}{\partial x}(x,y)\,dx+\frac{\partial f}{\partial y}(x,y)\,dy.
Isso significa que a variação de z combina as variações de x e y ponderadas pelas derivadas parciais de f.

Passo 4

Agora expressamos dx e dy em termos de du e dv. Como x=g(u,v) e y=h(u,v),
dx=\frac{\partial g}{\partial u}\,du+\frac{\partial g}{\partial v}\,dv, \qquad dy=\frac{\partial h}{\partial u}\,du+\frac{\partial h}{\partial v}\,dv.
Substituindo dx e dy na expressão de dz obtemos
dz=\frac{\partial f}{\partial x}(x,y)\!\left(\frac{\partial g}{\partial u}\,du+\frac{\partial g}{\partial v}\,dv\right) +\frac{\partial f}{\partial y}(x,y)\!\left(\frac{\partial h}{\partial u}\,du+\frac{\partial h}{\partial v}\,dv\right).

Passo 5

Reagrupando os termos que multiplicam du e os que multiplicam dv, temos
dz=\Bigg(\frac{\partial f}{\partial x}(x,y)\frac{\partial g}{\partial u}+\frac{\partial f}{\partial y}(x,y)\frac{\partial h}{\partial u}\Bigg)du +\Bigg(\frac{\partial f}{\partial x}(x,y)\frac{\partial g}{\partial v}+\frac{\partial f}{\partial y}(x,y)\frac{\partial h}{\partial v}\Bigg)dv.
Como \frac{\partial z}{\partial u} é o coeficiente de du com v fixo, e \frac{\partial z}{\partial v} é o coeficiente de dv com u fixo, concluímos (lembrando de substituir x=g(u,v) e y=h(u,v) nas derivadas de f):

Passo 6

Escrevendo explicitamente com a avaliação em (x,y)=(g(u,v),h(u,v)), obtemos as fórmulas finais:
\frac{\partial z}{\partial u} =\frac{\partial f}{\partial x}\bigl(g(u,v),h(u,v)\bigr)\,\frac{\partial g}{\partial u}(u,v) +\frac{\partial f}{\partial y}\bigl(g(u,v),h(u,v)\bigr)\,\frac{\partial h}{\partial u}(u,v),
\frac{\partial z}{\partial v} =\frac{\partial f}{\partial x}\bigl(g(u,v),h(u,v)\bigr)\,\frac{\partial g}{\partial v}(u,v) +\frac{\partial f}{\partial y}\bigl(g(u,v),h(u,v)\bigr)\,\frac{\partial h}{\partial v}(u,v).

Passo 7

Interpretação intuitiva (rápida): cada termo é “taxa de variação de f em relação a uma variável interna” vezes "quanto essa variável interna varia com u ou v". Por exemplo, \frac{\partial f}{\partial x}(g,h)\frac{\partial g}{\partial u} diz: quanto f muda se x muda, multiplicado por quanto x=g(u,v) muda quando \,u muda. Isso é a essência da regra da cadeia para várias variáveis — a variação total é soma das contribuições pelas vias distintas (aqui: via x e via y). Força aí, você consegue aplicar isso direto na prova!

Resposta

\frac{\partial z}{\partial u} =\frac{\partial f}{\partial x}\bigl(g(u,v),h(u,v)\bigr)\,\frac{\partial g}{\partial u}(u,v) +\frac{\partial f}{\partial y}\bigl(g(u,v),h(u,v)\bigr)\,\frac{\partial h}{\partial u}(u,v)
\frac{\partial z}{\partial v} =\frac{\partial f}{\partial x}\bigl(g(u,v),h(u,v)\bigr)\,\frac{\partial g}{\partial v}(u,v) +\frac{\partial f}{\partial y}\bigl(g(u,v),h(u,v)\bigr)\,\frac{\partial h}{\partial v}(u,v)

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