Exercicio 6.8. Se
. Encontre
em termos das derivadas parciais de
e
.
Passo 1
O enunciado diz que
. Preciso encontrar as derivadas parciais
e
em termos de
e
.
Informações relevantes fornecidas:
-
é uma função de duas variáveis . -
e são funções de . -
será substituído por e por na composição. - Queremos expressar
e usando as derivadas parciais dadas.
Passo 2
Para organizar a ideia, introduzimos as notações
de modo que
Aqui
é a taxa de variação de
quando só
muda (mantendo
fixo), e
é a taxa de variação de
quando só
muda (mantendo
fixo). Já
indica quanto
muda quando
muda (com
fixo), e assim por diante.
Passo 3
Vamos usar a ideia do diferencial total. Se
com
e
, então o diferencial (fórmula do diferencial total) é
Isso significa que a variação de
combina as variações de
e
ponderadas pelas derivadas parciais de
.
Passo 4
Agora expressamos
e
em termos de
e
. Como
e
,
Substituindo
e
na expressão de
obtemos
Passo 5
Reagrupando os termos que multiplicam
e os que multiplicam
, temos
Como
é o coeficiente de
com
fixo, e
é o coeficiente de
com
fixo, concluímos (lembrando de substituir
e
nas derivadas de
):
Passo 6
Escrevendo explicitamente com a avaliação em
, obtemos as fórmulas finais:
Passo 7
Interpretação intuitiva (rápida): cada termo é “taxa de variação de
em relação a uma variável interna” vezes "quanto essa variável interna varia com
ou
". Por exemplo,
diz: quanto
muda se
muda, multiplicado por quanto
muda quando
muda. Isso é a essência da regra da cadeia para várias variáveis — a variação total é soma das contribuições pelas vias distintas (aqui: via
e via
). Força aí, você consegue aplicar isso direto na prova!