Exercicio 6.3. Suponha que
para todo
. Mostre que
Passo 1
O enunciado dá a igualdade
Pede para mostrar que
Informações relevantes: a função
é aplicada às coordenadas
e a composição é igual ao polinômio
para todo
. O ponto
aparece porque quando
temos
.
Passo 2
Vamos construir uma função de variável única a partir da composição dada: defina
Isto é só reescrever o que o enunciado dá:
para todo
. A vantagem é que
é função de uma só variável, então podemos derivá‑la em relação a
e usar isso para obter informações sobre as derivadas parciais de
nos pontos da curva
.
Passo 3
Lembrete importante (cadeia para funções de várias variáveis): se tivermos
com
diferenciável e
diferenciáveis, então a derivada de
em
é dada pela regra da cadeia:
Explicando cada termo:
é a taxa de variação de
quando só
muda (mantendo
fixo);
é a taxa de variação de
quando só
muda. Já
e
são as derivadas das trajetórias
e
— elas dizem “com que velocidade” as coordenadas mudam quando
varia. A fórmula diz: a variação total de
ao longo da curva é a soma das contribuições vindas das variações em
e em
.
Passo 4
No nosso caso temos
e
. Calcule as derivadas das trajetórias:
Aplicando a regra da cadeia ao
definido no Passo 2 obtemos
Passo 5
Por outro lado, o enunciado nos deu explicitamente
. Então podemos derivar o lado direito como função de uma variável:
Passo 6
Como as duas expressões representam
para todo
, elas são iguais:
Agora avalie essa igualdade no valor
. Observação: para
temos
, exatamente o ponto que nos interessa. Substituindo
obtemos
O lado direito é
, então
Passo 7
Divida a igualdade anterior por
para simplificar:
Isolando
vem
que é exatamente o que se pedia.