Exercicio 6.3. Suponha que f\left(t^{2}, 2 t\right)=t^{3}-3 t para todo t. Mostre que
\frac{\partial f}{\partial x}(1,2)=-\frac{\partial f}{\partial y}(1,2) .

Passo 1

O enunciado dá a igualdade
f\bigl(t^{2},2t\bigr)=t^{3}-3t\quad\text{para todo }t.
Pede para mostrar que
\frac{\partial f}{\partial x}(1,2)=-\frac{\partial f}{\partial y}(1,2).
Informações relevantes: a função f é aplicada às coordenadas (x,y)=(t^{2},2t) e a composição é igual ao polinômio t^{3}-3t para todo t. O ponto (1,2) aparece porque quando t=1 temos \bigl(t^{2},2t\bigr)=(1,2).

Passo 2

Vamos construir uma função de variável única a partir da composição dada: defina
g(t)=f\bigl(t^{2},2t\bigr).
Isto é só reescrever o que o enunciado dá: g(t)=t^{3}-3t para todo t. A vantagem é que g é função de uma só variável, então podemos derivá‑la em relação a t e usar isso para obter informações sobre as derivadas parciais de f nos pontos da curva (t^{2},2t).

Passo 3

Lembrete importante (cadeia para funções de várias variáveis): se tivermos
g(t)=f\bigl(x(t),y(t)\bigr)
com f diferenciável e x,y diferenciáveis, então a derivada de g em t é dada pela regra da cadeia:
g'(t)=\frac{\partial f}{\partial x}\bigl(x(t),y(t)\bigr)\,x'(t)+\frac{\partial f}{\partial y}\bigl(x(t),y(t)\bigr)\,y'(t).
Explicando cada termo: \frac{\partial f}{\partial x}(x,y) é a taxa de variação de f quando só x muda (mantendo y fixo); \frac{\partial f}{\partial y}(x,y) é a taxa de variação de f quando só y muda. Já x'(t) e y'(t) são as derivadas das trajetórias x(t) e y(t) — elas dizem “com que velocidade” as coordenadas mudam quando t varia. A fórmula diz: a variação total de f ao longo da curva é a soma das contribuições vindas das variações em x e em y.

Passo 4

No nosso caso temos x(t)=t^{2} e y(t)=2t. Calcule as derivadas das trajetórias:
x'(t)=\frac{d}{dt}\bigl(t^{2}\bigr)=2t,\qquad y'(t)=\frac{d}{dt}\bigl(2t\bigr)=2.
Aplicando a regra da cadeia ao g definido no Passo 2 obtemos
g'(t)=\frac{\partial f}{\partial x}\bigl(t^{2},2t\bigr)\cdot 2t+\frac{\partial f}{\partial y}\bigl(t^{2},2t\bigr)\cdot 2.

Passo 5

Por outro lado, o enunciado nos deu explicitamente g(t)=t^{3}-3t. Então podemos derivar o lado direito como função de uma variável:
g'(t)=\frac{d}{dt}\bigl(t^{3}-3t\bigr)=3t^{2}-3.

Passo 6

Como as duas expressões representam g'(t) para todo t, elas são iguais:
\frac{\partial f}{\partial x}\bigl(t^{2},2t\bigr)\cdot 2t+\frac{\partial f}{\partial y}\bigl(t^{2},2t\bigr)\cdot 2=3t^{2}-3.
Agora avalie essa igualdade no valor t=1. Observação: para t=1 temos \bigl(t^{2},2t\bigr)=(1,2), exatamente o ponto que nos interessa. Substituindo t=1 obtemos
\frac{\partial f}{\partial x}(1,2)\cdot 2\cdot 1+\frac{\partial f}{\partial y}(1,2)\cdot 2=3\cdot 1^{2}-3.
O lado direito é 3-3=0, então
2\frac{\partial f}{\partial x}(1,2)+2\frac{\partial f}{\partial y}(1,2)=0.

Passo 7

Divida a igualdade anterior por 2 para simplificar:
\frac{\partial f}{\partial x}(1,2)+\frac{\partial f}{\partial y}(1,2)=0.
Isolando \frac{\partial f}{\partial x}(1,2) vem
\frac{\partial f}{\partial x}(1,2)=-\frac{\partial f}{\partial y}(1,2),
que é exatamente o que se pedia.

Resposta

\displaystyle \frac{\partial f}{\partial x}(1,2)=-\frac{\partial f}{\partial y}(1,2)

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