Calcule \int_{S} f d S onde a superfície S e o campo escalar f são dados a seguir:
f(x, y, z)=x^{2}-x y^{2}-z+1 e S com parametrização r(u, v)= \left(u, v, u^{2}+1\right), 0 \leq u \leq 1,0 \leq v \leq 2.

Passo 1

O que o enunciado pede: calcular a integral de superfície \displaystyle \int_{S} f\,dS.
Informações dadas:
  • A função escalar é f(x,y,z)=x^{2}-x y^{2}-z+1.
  • A superfície S está parametrizada por \displaystyle r(u,v)=\big(u,\;v,\;u^{2}+1\big) com 0\le u\le 1 e 0\le v\le 2.
  • Ou seja, o domínio de parâmetros é o retângulo D=\{(u,v)\mid 0\le u\le1,\;0\le v\le2\}.
Pergunta explícita: calcular \displaystyle \iint_{S} f\,dS usando a parametrização fornecida.

Passo 2

Método geral (explicação didática): quando temos uma superfície parametrizada por r(u,v) e queremos a integral de superfície de um campo escalar f, usamos a fórmula
\iint_{S} f\,dS \;=\; \iint_{D} f\big(r(u,v)\big)\,\big\| r_u(u,v)\times r_v(u,v)\big\|\,du\,dv.
O que cada peça significa:
  • f\big(r(u,v)\big) é simplesmente compor a função f com a parametrização, ou seja, substituir x=u,\;y=v,\;z=u^{2}+1.
  • r_u e r_v são as derivadas parciais de r em relação a u e v: elas dão vetores tangentes à superfície.
  • r_u\times r_v é o produto vetorial entre esses vetores tangentes; seu módulo \|r_u\times r_v\| é o fator de escala que transforma uma pequena área du\,dv no plano de parâmetros em uma pequena área na superfície S.
    Vou aplicar exatamente essa receita, passo a passo.

Passo 3

Calcular as derivadas parciais r_u e r_v.
A parametrização é r(u,v)=\big(u,\;v,\;u^{2}+1\big).
Derivando componente a componente:
r_u(u,v)=\left(\frac{\partial}{\partial u}u,\;\frac{\partial}{\partial u}v,\;\frac{\partial}{\partial u}(u^{2}+1)\right) =\big(1,\;0,\;2u\big).
r_v(u,v)=\left(\frac{\partial}{\partial v}u,\;\frac{\partial}{\partial v}v,\;\frac{\partial}{\partial v}(u^{2}+1)\right) =\big(0,\;1,\;0\big).

Passo 4

Calcular o produto vetorial r_u\times r_v.
Usando a regra do determinante:
r_u\times r_v = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\\\ 1 & 0 & 2u \\\\ 0 & 1 & 0 \end{vmatrix} = \big(0\cdot0-2u\cdot1,\;-(1\cdot0-2u\cdot0),\;1\cdot1-0\cdot0\big).
Portanto
r_u\times r_v = \big(-2u,\;0,\;1\big).

Passo 5

Calcular a norma \big\|r_u\times r_v\big\|.
\big\|r_u\times r_v\big\| = \sqrt{(-2u)^{2}+0^{2}+1^{2}} = \sqrt{4u^{2}+1}.
Interpretação: cada elemento de área du\,dv no domínio vira um pedaço de área na superfície com fator \sqrt{4u^{2}+1}.

Passo 6

Avaliar f sobre a superfície, ou seja compor f com r(u,v).
Substituímos x=u,\;y=v,\;z=u^{2}+1 em f(x,y,z)=x^{2}-x y^{2}-z+1:
f\big(r(u,v)\big)=u^{2}-u v^{2}-(u^{2}+1)+1.
Agora simplificamos: u^{2} e -u^{2} se cancelam, e -1+1=0. Logo
f\big(r(u,v)\big) = -u v^{2}.
É bem legal quando as coisas simplificam assim — reduz o trabalho!

Passo 7

Montar a integral dupla no domínio D.
Pelo passo 2, temos
\iint_{S} f\,dS \;=\; \iint_{D} f\big(r(u,v)\big)\,\big\|r_u\times r_v\big\|\,du\,dv = \int_{u=0}^{1}\int_{v=0}^{2} \big(-u v^{2}\big)\,\sqrt{4u^{2}+1}\; dv\,du.
Observação útil para facilitar: \sqrt{4u^{2}+1} depende só de u, então ao integrar em v podemos tratá-la como constante.

Passo 8

Fazer a integração em v primeiro.
Calcule
\int_{v=0}^{2} (-u v^{2})\,dv = -u\int_{0}^{2} v^{2}\,dv = -u\left[\frac{v^{3}}{3}\right]_{0}^{2} = -u\cdot\frac{8}{3} = -\frac{8}{3}u.
Então a integral reduz-se a
\int_{0}^{1} \left(-\frac{8}{3}u\right)\sqrt{4u^{2}+1}\;du = -\frac{8}{3}\int_{0}^{1} u\sqrt{4u^{2}+1}\;du.

Passo 9

Calcular a integral em u por substituição (explicando a técnica).
Escolhemos a substituição
t = 4u^{2}+1.
Então dt = 8u\,du, ou seja u\,du = \dfrac{dt}{8}.
Quando u=0 temos t=1. Quando u=1 temos t=5.
Substituindo na integral:
-\frac{8}{3}\int_{0}^{1} u\sqrt{4u^{2}+1}\;du = -\frac{8}{3}\int_{t=1}^{5} \sqrt{t}\cdot\frac{dt}{8}.
O fator \frac{8}{8} simplifica, sobrando
-\frac{1}{3}\int_{1}^{5} t^{1/2}\;dt.
Agora integramos t^{1/2}: uma primitiva é \dfrac{2}{3}t^{3/2}. Assim
-\frac{1}{3}\left[\frac{2}{3}t^{3/2}\right]_{1}^{5} = -\frac{2}{9}\big(t^{3/2}\big)\Big|_{1}^{5} = -\frac{2}{9}\big(5^{3/2}-1^{3/2}\big).
Simplificando 5^{3/2}=5\sqrt{5} e 1^{3/2}=1, obtemos
-\frac{2}{9}\big(5\sqrt{5}-1\big).

Passo 10

Interpretação final e verificação rápida: resultado negativo faz sentido porque f(r(u,v))=-u v^{2} é não-positivo no domínio (já que u,v\ge0), e a área é positiva, então integral total deve ser não-positiva. Nosso resultado é negativo — coerente.

Resposta

-\dfrac{2}{9}\big(5\sqrt{5}-1\big)

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