Calcule \int_{S} f d S onde a superfície S e o campo escalar f são dados a seguir: f(x, y, z)=x^{2}-x y^{2}-z+1 e S com parametrização r(u, v)= \left(u, v, u^{2}+1\right), 0 \leq u \leq 1,0 \leq v \leq 2.
Passo 1
O que o enunciado pede: calcular a integral de superfície \displaystyle \int_{S} f\,dS.
Informações dadas:
A função escalar é f(x,y,z)=x^{2}-x y^{2}-z+1.
A superfície S está parametrizada por \displaystyle r(u,v)=\big(u,\;v,\;u^{2}+1\big) com 0\le u\le 1 e 0\le v\le 2.
Ou seja, o domínio de parâmetros é o retângulo D=\{(u,v)\mid 0\le u\le1,\;0\le v\le2\}.
Pergunta explícita: calcular \displaystyle \iint_{S} f\,dS usando a parametrização fornecida.
Passo 2
Método geral (explicação didática): quando temos uma superfície parametrizada por r(u,v) e queremos a integral de superfície de um campo escalar f, usamos a fórmula
f\big(r(u,v)\big) é simplesmente compor a função f com a parametrização, ou seja, substituir x=u,\;y=v,\;z=u^{2}+1.
r_u e r_v são as derivadas parciais de r em relação a u e v: elas dão vetores tangentes à superfície.
r_u\times r_v é o produto vetorial entre esses vetores tangentes; seu módulo \|r_u\times r_v\| é o fator de escala que transforma uma pequena área du\,dv no plano de parâmetros em uma pequena área na superfície S.
Vou aplicar exatamente essa receita, passo a passo.
Passo 3
Calcular as derivadas parciais r_u e r_v.
A parametrização é r(u,v)=\big(u,\;v,\;u^{2}+1\big).
Simplificando 5^{3/2}=5\sqrt{5} e 1^{3/2}=1, obtemos
-\frac{2}{9}\big(5\sqrt{5}-1\big).
Passo 10
Interpretação final e verificação rápida: resultado negativo faz sentido porque f(r(u,v))=-u v^{2} é não-positivo no domínio (já que u,v\ge0), e a área é positiva, então integral total deve ser não-positiva. Nosso resultado é negativo — coerente.