Determine a área da calota cortada da esfera x^{2}+y^{2}+z^{2}=2 pelo cone z=\sqrt{x^{2}+y^{2}}.

Passo 1

O enunciado pede: determinar a área da calota da esfera cortada pelo cone. Informações dadas:
  • A esfera tem equação x^{2}+y^{2}+z^{2}=2.
  • O cone tem equação z=\sqrt{x^{2}+y^{2}}.
  • Entende-se por “calota cortada da esfera pelo cone” a parte da superfície esférica limitada pela curva de interseção entre a esfera e o cone — isto é, a região da esfera cuja fronteira é a curva onde as duas superfícies se encontram.
  • Precisamos calcular a área dessa região da superfície da esfera.

Passo 2

Vamos identificar geometricamente a curva de interseção e escolher coordenadas práticas. Primeiro observe que a esfera tem raio
R=\sqrt{2},
pois na equação x^{2}+y^{2}+z^{2}=2 a quantidade 2 é R^{2}.
Agora use coordenadas esféricas clássicas (convencionais): para um ponto qualquer,
x=\rho\sin\varphi\cos\theta,\qquad y=\rho\sin\varphi\sin\theta,\qquad z=\rho\cos\varphi,
onde \rho\ge0 é a distância ao origem, \varphi\in[0,\pi] é o ângulo entre o raio e o eixo z (colatitude) e \theta\in[0,2\pi) é a longitude. Neste problema, na superfície da esfera temos \rho=R=\sqrt{2}.
Agora imponha a equação do cone z=\sqrt{x^{2}+y^{2}} em esféricas. Substituindo:
\rho\cos\varphi=\rho\sin\varphi \quad\Rightarrow\quad \cos\varphi=\sin\varphi.
Isto dá
\tan\varphi=1\quad\Rightarrow\quad \varphi=\frac{\pi}{4}.
Portanto a curva de interseção entre esfera e cone corresponde à linha de colatitude \varphi=\pi/4 sobre a esfera radius R. A calota pedida é a região da esfera com 0\le\varphi\le\pi/4 (a parte “acima” do cone, pois nela z\ge\sqrt{x^{2}+y^{2}}).

Passo 3

Precisamos da fórmula do elemento de área sobre uma esfera de raio R. Em coordenadas esféricas, o elemento de área superficial de uma esfera de raio R é
dS=R^{2}\sin\varphi\,d\varphi\,d\theta.
Explicação do porquê, de forma intuitiva: fixando pequenos incrementos \Delta\varphi e \Delta\theta, a pequena “tampa” sobre a esfera tem dimensões aproximadas R\,\Delta\varphi (no sentido meridiano) por R\sin\varphi\,\Delta\theta (no sentido paralelo). O produto desses comprimentos dá a área aproximada do patch, e no limite \Delta\varphi,\Delta\theta\to0 obtemos dS=R^{2}\sin\varphi\,d\varphi\,d\theta.
Aqui R=\sqrt{2}, \varphi e \theta são as mesmas variáveis esféricas já definidas.

Passo 4

Agora monte a integral dupla que calcula a área da calota. As variáveis percorrem:
\theta\in[0,2\pi],\qquad \varphi\in[0,\pi/4].
Logo a área A é
A=\int_{\theta=0}^{2\pi}\int_{\varphi=0}^{\pi/4} R^{2}\sin\varphi\,d\varphi\,d\theta.

Passo 5

Substitua R^{2}=2 e calcule a integral passo a passo. Primeiro escreva a integral com o valor de R^{2}:
A=\int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{\pi/4} 2\sin\varphi\,d\varphi\,d\theta.
Integre em \varphi primeiro. A primitiva de \sin\varphi é -\cos\varphi. Então
\int_{0}^{\pi/4} 2\sin\varphi\,d\varphi = 2\big[-\cos\varphi\big]_{0}^{\pi/4} = 2\big(-\cos(\tfrac{\pi}{4}) + \cos(0)\big).
Calcule os cossenos: \cos(0)=1 e \cos(\tfrac{\pi}{4})=\dfrac{\sqrt{2}}{2}. Substituindo:
2\big(-\tfrac{\sqrt{2}}{2}+1\big)=2\big(1-\tfrac{\sqrt{2}}{2}\big).

Passo 6

Agora integre em \theta (que é trivial, pois o resultado da integral em \varphi é constante em \theta):
A=\int_{0}^{2\pi} 2\Big(1-\tfrac{\sqrt{2}}{2}\Big)\,d\theta =2\Big(1-\tfrac{\sqrt{2}}{2}\Big)\cdot\big[ \theta \big]_{0}^{2\pi} =2\Big(1-\tfrac{\sqrt{2}}{2}\Big)\cdot 2\pi.
Simplifique os fatores:
A=4\pi\Big(1-\tfrac{\sqrt{2}}{2}\Big).
Podemos escrever de forma mais compacta factorando 2\pi:
A=2\pi\big(2-\sqrt{2}\big).

Resposta

\;2\pi\big(2-\sqrt{2}\big)

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