Determine a área da calota cortada da esfera
pelo cone
.
Passo 1
O enunciado pede: determinar a área da calota da esfera cortada pelo cone. Informações dadas:
- A esfera tem equação
. - O cone tem equação
. - Entende-se por “calota cortada da esfera pelo cone” a parte da superfície esférica limitada pela curva de interseção entre a esfera e o cone — isto é, a região da esfera cuja fronteira é a curva onde as duas superfícies se encontram.
- Precisamos calcular a área dessa região da superfície da esfera.
Passo 2
Vamos identificar geometricamente a curva de interseção e escolher coordenadas práticas. Primeiro observe que a esfera tem raio
pois na equação
a quantidade
é
.
Agora use coordenadas esféricas clássicas (convencionais): para um ponto qualquer,
onde
é a distância ao origem,
é o ângulo entre o raio e o eixo
(colatitude) e
é a longitude. Neste problema, na superfície da esfera temos
.
Agora imponha a equação do cone
em esféricas. Substituindo:
Isto dá
Portanto a curva de interseção entre esfera e cone corresponde à linha de colatitude
sobre a esfera radius
. A calota pedida é a região da esfera com
(a parte “acima” do cone, pois nela
).
Passo 3
Precisamos da fórmula do elemento de área sobre uma esfera de raio
. Em coordenadas esféricas, o elemento de área superficial de uma esfera de raio
é
Explicação do porquê, de forma intuitiva: fixando pequenos incrementos
e
, a pequena “tampa” sobre a esfera tem dimensões aproximadas
(no sentido meridiano) por
(no sentido paralelo). O produto desses comprimentos dá a área aproximada do patch, e no limite
obtemos
.
Aqui
,
e
são as mesmas variáveis esféricas já definidas.
Passo 4
Agora monte a integral dupla que calcula a área da calota. As variáveis percorrem:
Logo a área
é
Passo 5
Substitua
e calcule a integral passo a passo. Primeiro escreva a integral com o valor de
:
Integre em
primeiro. A primitiva de
é
. Então
Calcule os cossenos:
e
. Substituindo:
Passo 6
Agora integre em
(que é trivial, pois o resultado da integral em
é constante em
):
Simplifique os fatores:
Podemos escrever de forma mais compacta factorando
: