Determine uma parametrização para as seguintes superfícies:
x^{2}+y^{2}+z^{2}=5.

Passo 1

O enunciado pede: determinar uma parametrização para a superfície dada pela equação
x^{2}+y^{2}+z^{2}=5.
Informações fornecidas e o que é pedido:
  • A superfície é o conjunto de todos os pontos (x,y,z) que satisfazem \;x^{2}+y^{2}+z^{2}=5.
  • Temos uma superfície de dimensão 2 (precisamos de dois parâmetros).
  • A tarefa é dar uma função vetorial com dois parâmetros que percorra exatamente todos os pontos dessa superfície.

Passo 2

Ideia geral (sem ainda usar fórmulas): como a equação tem a forma de soma de quadrados igual a uma constante, a superfície é uma esfera centrada na origem com raio constante. Para parametrizar uma superfície que é uma esfera é natural usar dois ângulos (dois parâmetros angulares) que variam: um controla a posição ao redor do eixo z (azimute) e outro controla a latitude/colatitude. Assim teremos duas variáveis que geram x, y e z.

Passo 3

Apresentando as fórmulas das coordenadas esféricas (essas fórmulas são um padrão que vale para qualquer esfera centrada na origem):
x=\rho\sin\varphi\cos\theta,
y=\rho\sin\varphi\sin\theta,
z=\rho\cos\varphi.
Explicando cada símbolo:
  • \rho é a distância radial do ponto até a origem (o raio), ou seja \rho=\sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}}.
  • \varphi é o ângulo polar (também chamado colatitude): mede o ângulo entre o vetor posição e o eixo positivo z. Varia de \varphi=0 (polo norte) até \varphi=\pi (polo sul).
  • \theta é o ângulo azimutal no plano xy: mede a rotação em torno do eixo z, variando tipicamente de 0 até 2\pi.
    Essas fórmulas garantem que \rho^{2}=\;x^{2}+y^{2}+z^{2} e que \theta,\varphi cobrem direções em toda a esfera.

Passo 4

Aplicando ao nosso caso: pela equação dada temos \rho^{2}=5, logo \rho=\sqrt{5} (escolhemos a raiz positiva porque \rho é distância). Substituindo \rho=\sqrt{5} nas fórmulas, obtemos a parametrização da esfera:
\mathbf{r}(\theta,\varphi)=\big(\sqrt{5}\,\sin\varphi\cos\theta,\;\sqrt{5}\,\sin\varphi\sin\theta,\;\sqrt{5}\,\cos\varphi\big).

Passo 5

Definindo o domínio dos parâmetros (para que a parametrização percorra a esfera inteira):
  • \theta varia em [0,2\pi). Este parâmetro dá volta completa no plano xy.
  • \varphi varia em [0,\pi]. Este parâmetro vai do polo norte ( \varphi=0) ao polo sul ( \varphi=\pi).
    Portanto o domínio pode ser tomado como (\theta,\varphi)\in[0,2\pi)\times[0,\pi].

Passo 6

Verificação rápida de que a parametrização satisfaz a equação da esfera (para você poder justificar na prova): calcule
x^{2}+y^{2}+z^{2}=(\sqrt{5}\sin\varphi\cos\theta)^{2}+(\sqrt{5}\sin\varphi\sin\theta)^{2}+(\sqrt{5}\cos\varphi)^{2}.
Fatorando (\sqrt{5})^{2}=5 e usando \cos^{2}\theta+\sin^{2}\theta=1, temos
x^{2}+y^{2}+z^{2}=5\big(\sin^{2}\varphi(\cos^{2}\theta+\sin^{2}\theta)+\cos^{2}\varphi\big)=5(\sin^{2}\varphi+\cos^{2}\varphi)=5.
Logo a parametrização realmente gera pontos da superfície dada.

Passo 7

Observações úteis para a prova (coisas que costumam cair ou causar dúvida):
  • Nos polos ( \varphi=0 e \varphi=\pi) o valor de \theta é irrelevante: todos os \theta dão o mesmo ponto. Isso é normal — a parametrização não é injetora nesses pontos, mas ainda é válida.
  • Se quiser evitar a duplicidade nos polos, na prática você pode tomar \varphi\in(0,\pi) e tratar os polos separadamente. Para a maioria das questões de parametrização isso não é necessário.
  • Outra parametrização possível (equivalente em espírito) é usar latitude \lambda em vez de \varphi: por exemplo tomar \lambda=\tfrac{\pi}{2}-\varphi e escrever x=\sqrt{5}\cos\lambda\cos\theta, y=\sqrt{5}\cos\lambda\sin\theta, z=\sqrt{5}\sin\lambda com \lambda\in[-\tfrac{\pi}{2},\tfrac{\pi}{2}].

Passo 8

Exemplo rápido para fixar: escolha \varphi=\tfrac{\pi}{2} (equador) e \theta=0. Então
\mathbf{r}(0,\tfrac{\pi}{2})=(\sqrt{5}\cdot1\cdot1,\;0,\;0)=(\sqrt{5},0,0),
ou seja o ponto da esfera sobre o eixo x positivo, como esperado. Para \varphi=0 obtemos (0,0,\sqrt{5}) — o polo norte.

Resposta

\mathbf{r}(\theta,\varphi)=\big(\sqrt{5}\,\sin\varphi\cos\theta,\;\sqrt{5}\,\sin\varphi\sin\theta,\;\sqrt{5}\,\cos\varphi\big),
com \theta\in[0,2\pi),\;\varphi\in[0,\pi].

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