Determine uma parametrização para as seguintes superfícies:
.
Passo 1
O enunciado pede: determinar uma parametrização para a superfície dada pela equação
Informações fornecidas e o que é pedido:
- A superfície é o conjunto de todos os pontos
que satisfazem . - Temos uma superfície de dimensão 2 (precisamos de dois parâmetros).
- A tarefa é dar uma função vetorial com dois parâmetros que percorra exatamente todos os pontos dessa superfície.
Passo 2
Ideia geral (sem ainda usar fórmulas): como a equação tem a forma de soma de quadrados igual a uma constante, a superfície é uma esfera centrada na origem com raio constante. Para parametrizar uma superfície que é uma esfera é natural usar dois ângulos (dois parâmetros angulares) que variam: um controla a posição ao redor do eixo
(azimute) e outro controla a latitude/colatitude. Assim teremos duas variáveis que geram
,
e
.
Passo 3
Apresentando as fórmulas das coordenadas esféricas (essas fórmulas são um padrão que vale para qualquer esfera centrada na origem):
Explicando cada símbolo:
-
é a distância radial do ponto até a origem (o raio), ou seja . -
é o ângulo polar (também chamado colatitude): mede o ângulo entre o vetor posição e o eixo positivo . Varia de (polo norte) até (polo sul). -
é o ângulo azimutal no plano : mede a rotação em torno do eixo , variando tipicamente de até .
Essas fórmulas garantem quee que cobrem direções em toda a esfera.
Passo 4
Aplicando ao nosso caso: pela equação dada temos
, logo
(escolhemos a raiz positiva porque
é distância). Substituindo
nas fórmulas, obtemos a parametrização da esfera:
Passo 5
Definindo o domínio dos parâmetros (para que a parametrização percorra a esfera inteira):
-
varia em . Este parâmetro dá volta completa no plano . -
varia em . Este parâmetro vai do polo norte ( ) ao polo sul ( ).
Portanto o domínio pode ser tomado como.
Passo 6
Verificação rápida de que a parametrização satisfaz a equação da esfera (para você poder justificar na prova): calcule
Fatorando
e usando
, temos
Logo a parametrização realmente gera pontos da superfície dada.
Passo 7
Observações úteis para a prova (coisas que costumam cair ou causar dúvida):
- Nos polos (
e ) o valor de é irrelevante: todos os dão o mesmo ponto. Isso é normal — a parametrização não é injetora nesses pontos, mas ainda é válida. - Se quiser evitar a duplicidade nos polos, na prática você pode tomar
e tratar os polos separadamente. Para a maioria das questões de parametrização isso não é necessário. - Outra parametrização possível (equivalente em espírito) é usar latitude
em vez de : por exemplo tomar e escrever , , com .
Passo 8
Exemplo rápido para fixar: escolha
(equador) e
. Então
ou seja o ponto da esfera sobre o eixo
positivo, como esperado. Para
obtemos
— o polo norte.
Resposta
com
.