Determine uma parametrização para as seguintes superfícies:
A parte do cilindro
entre os planos
e
.
A parte do cilindro
Passo 1
O enunciado pede uma parametrização da parte do cilindro
que está entre os planos
e
.
Informações dadas:
- A superfície é todo ponto
que satisfaz . - O eixo
está limitado por . - Precisamos dar uma função que, para cada par de parâmetros, fornece um ponto dessa superfície (ou seja, uma parametrização).
Passo 2
Ideia geométrica e escolha dos parâmetros: para cada altura fixa
entre
e
a interseção com o cilindro é um círculo de raio
no plano
. Um círculo de raio
centrado na origem é naturalmente descrito por ângulo
usando
e
. Aqui
é o parâmetro angular que percorre o círculo.
Explicação do porquê usar
e
: para qualquer
,
então
é garantido se escolhermos
e
.
Passo 3
Escolha completa dos parâmetros: seja
o parâmetro angular e seja
o parâmetro vertical (a própria coordenada
). Tomamos os intervalos
Assim, para cada par
obtemos um ponto do cilindro com a altura desejada.
Passo 4
Escrevendo a parametrização explicitamente: combinando as escolhas do Passo 2 e do Passo 3, a parametrização natural é
Verificação rápida: substituindo
e
obtemos
e por construção
varia entre
e
, então todos os pontos obtidos estão exatamente na porção do cilindro pedida.
Passo 5
Observações úteis para a prova (por que essa parametrização é boa):
- A parametrização é suave: calcule as derivadas parciais
Esses vetores são linearmente independentes para todo
, então a parametrização é regular (não “amassada”).
- Sobre os intervalos:
em percorre uma volta completa; usar o ponto também dá os mesmos pontos que , então normalmente toma-se para evitar duplicação, mas também é aceitável se você não se importar com o ponto inicial se repetindo. - Exemplo prático: para
e temos , que é um ponto do cilindro na altura .
Passo 6
Alternativa de notação (às vezes pedida na prova): usar parâmetros
em vez de
. Por exemplo,
É a mesma parametrização apenas com nomes diferentes para os parâmetros.