Determine uma parametrização para as seguintes superfícies:
A parte do cilindro x^{2}+y^{2}=1 entre os planos z=0 e z=5.

Passo 1

O enunciado pede uma parametrização da parte do cilindro \;x^{2}+y^{2}=1\; que está entre os planos \;z=0\; e \;z=5\;.
Informações dadas:
  • A superfície é todo ponto (x,y,z) que satisfaz \;x^{2}+y^{2}=1\;.
  • O eixo z está limitado por \;0\le z\le 5\;.
  • Precisamos dar uma função que, para cada par de parâmetros, fornece um ponto dessa superfície (ou seja, uma parametrização).

Passo 2

Ideia geométrica e escolha dos parâmetros: para cada altura fixa z entre \;0 e \;5 a interseção com o cilindro é um círculo de raio \;1 no plano xy. Um círculo de raio \;1 centrado na origem é naturalmente descrito por ângulo \theta usando \;x=\cos\theta\; e \;y=\sin\theta\;. Aqui \theta é o parâmetro angular que percorre o círculo.
Explicação do porquê usar \cos e \sin: para qualquer \theta,
\cos^{2}\theta+\sin^{2}\theta=1,
então x^{2}+y^{2}=1 é garantido se escolhermos x=\cos\theta e y=\sin\theta.

Passo 3

Escolha completa dos parâmetros: seja \theta o parâmetro angular e seja z o parâmetro vertical (a própria coordenada z). Tomamos os intervalos
0\le \theta < 2\pi,\qquad 0\le z\le 5.
Assim, para cada par (\theta,z) obtemos um ponto do cilindro com a altura desejada.

Passo 4

Escrevendo a parametrização explicitamente: combinando as escolhas do Passo 2 e do Passo 3, a parametrização natural é
\mathbf{r}(\theta,z)=\big(\cos\theta,\;\sin\theta,\;z\big).
Verificação rápida: substituindo \;x=\cos\theta e \;y=\sin\theta obtemos
x^{2}+y^{2}=\cos^{2}\theta+\sin^{2}\theta=1,
e por construção z varia entre \;0 e \;5, então todos os pontos obtidos estão exatamente na porção do cilindro pedida.

Passo 5

Observações úteis para a prova (por que essa parametrização é boa):
  • A parametrização é suave: calcule as derivadas parciais
\frac{\partial\mathbf{r}}{\partial\theta}=(-\sin\theta,\cos\theta,0),\qquad \frac{\partial\mathbf{r}}{\partial z}=(0,0,1).
Esses vetores são linearmente independentes para todo \theta, então a parametrização é regular (não “amassada”).
  • Sobre os intervalos: \theta em [0,2\pi) percorre uma volta completa; usar o ponto \theta=2\pi também dá os mesmos pontos que \theta=0, então normalmente toma-se [0,2\pi) para evitar duplicação, mas [0,2\pi] também é aceitável se você não se importar com o ponto inicial se repetindo.
  • Exemplo prático: para \theta=\tfrac{\pi}{2} e z=3 temos \mathbf{r}\big(\tfrac{\pi}{2},3\big)=(0,1,3), que é um ponto do cilindro na altura z=3.

Passo 6

Alternativa de notação (às vezes pedida na prova): usar parâmetros (u,v) em vez de (\theta,z). Por exemplo,
\mathbf{r}(u,v)=\big(\cos u,\;\sin u,\;v\big),\qquad 0\le u<2\pi,\;0\le v\le5.
É a mesma parametrização apenas com nomes diferentes para os parâmetros.

Resposta

\mathbf{r}(\theta,z)=\big(\cos\theta,\;\sin\theta,\;z\big),\qquad 0\le \theta<2\pi,\;0\le z\le5.

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