Calcule \int \operatorname{sen}(3 x) \cos (2 x) d x
-\frac{1}{8} \operatorname{sen}(4 x)+\frac{1}{4} \operatorname{sen}(2 x)+C
-\frac{1}{14} \operatorname{sen}(7 x)+\frac{1}{6} \operatorname{sen}(3 x)+C
-\frac{1}{10} \cos (5 x)-\frac{1}{2} \cos (x)+C
\frac{1}{12} \operatorname{sen}(6 x)+\frac{1}{8} \operatorname{sen}(4 x)+C
\frac{1}{20} \operatorname{sen}(10 x)+\frac{1}{8} \operatorname{sen}(4 x)+C

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral indefinida
\int \sin(3x)\cos(2x)\,dx.
O conteúdo aqui é integração de produto de funções trigonométricas, e vamos usar identidades de soma de arcos.

Passo 2

Aplicamos a identidade de produto para seno e cosseno:
\sin A\cos B = \tfrac12\bigl[\sin(A+B)+\sin(A-B)\bigr].
Tomando A=3x e B=2x, obtemos
\sin(3x)\cos(2x) = \tfrac12\bigl[\sin(5x)+\sin(x)\bigr].

Passo 3

Substituindo na integral, temos
\int \sin(3x)\cos(2x)\,dx = \tfrac12\int \bigl[\sin(5x)+\sin(x)\bigr]\,dx = \tfrac12\Bigl(\int\sin(5x)\,dx + \int\sin(x)\,dx\Bigr).

Passo 4

Calculamos separadamente:
\int \sin(5x)\,dx = -\tfrac{1}{5}\cos(5x), \qquad \int \sin(x)\,dx = -\cos(x).
Logo,
\tfrac12\Bigl(-\tfrac{1}{5}\cos(5x)-\cos(x)\Bigr) = -\tfrac{1}{10}\cos(5x)-\tfrac{1}{2}\cos(x)+C.

Passo 5

Comparando com as alternativas fornecidas, a que coincide é
-\tfrac{1}{10}\cos(5x)-\tfrac{1}{2}\cos(x)+C.

Resposta

-\tfrac{1}{10}\cos(5x)-\tfrac{1}{2}\cos(x)+C

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