(10,0 pts) Para cada um dos itens abaixo:
(c)
Prove que a série
converge e use isto para obter que
.
(c)
Passo 1
O enunciado pede para provar que a série de termos positivos
converge e, a partir disso, deduzir que
O conteúdo que vamos usar é o Teste da Razão para séries de termos positivos e o fato de que, se
converge, então
.
Passo 2
Seja
. Pelo Teste da Razão, consideramos
Se
, então
converge.
Passo 3
Calculamos a razão entre termos consecutivos:
Como
o Teste da Razão garante que
converge.
Passo 4
Uma consequência direta da convergência de
com
é que
. Logo,