(10,0 pts) Para cada um dos itens abaixo:
(c) (4,0) Prove que a série \sum_{i=1}^{\infty} \frac{n!}{n^{n}} converge e use isto para obter que \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{n!}{n^{n}}=0.

Passo 1

O enunciado pede para provar que a série de termos positivos
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{n!}{n^{n}}
converge e, a partir disso, deduzir que
\lim_{n\to\infty}\frac{n!}{n^{n}}=0.
O conteúdo que vamos usar é o Teste da Razão para séries de termos positivos e o fato de que, se \sum a_n converge, então a_n\to0.

Passo 2

Seja a_n=\frac{n!}{n^n}. Pelo Teste da Razão, consideramos
L=\lim_{n\to\infty}\frac{a_{n+1}}{a_n}.
Se L<1, então \sum a_n converge.

Passo 3

Calculamos a razão entre termos consecutivos:
\frac{a_{n+1}}{a_n} =\frac{\frac{(n+1)!}{(n+1)^{\,n+1}}}{\frac{n!}{n^n}} =\frac{(n+1)\,n!}{(n+1)^{\,n+1}}\cdot\frac{n^n}{n!} =\frac{n^n}{(n+1)^n} =\Bigl(\frac{n}{n+1}\Bigr)^{\!n} =\Bigl(1+\frac1n\Bigr)^{\!-n}.
Como
\lim_{n\to\infty}\Bigl(1+\frac1n\Bigr)^{\!-n} =e^{-1}<1,
o Teste da Razão garante que
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{n!}{n^{n}}
converge.

Passo 4

Uma consequência direta da convergência de \sum a_n com a_n>0 é que a_n\to0. Logo,
\lim_{n\to\infty}\frac{n!}{n^{n}}=0.

Resposta

\lim_{n\to\infty}\frac{n!}{n^{n}}=0.

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