Calcule \int \operatorname{sen}(2 x) \operatorname{sen}(5 x) d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral indefinida
\int \sin(2x)\,\sin(5x)\,dx.
O conteúdo principal aqui é o uso de identidades trigonométricas (produto–soma) e, em seguida, a integração de funções do tipo \cos(kx).

Passo 2

Usamos a identidade produto–soma
\sin A\,\sin B = \tfrac12\bigl[\cos(A - B) - \cos(A + B)\bigr].
No nosso caso, A=2x e B=5x, de modo que
\sin(2x)\,\sin(5x) = \tfrac12\bigl[\cos(2x - 5x) - \cos(2x + 5x)\bigr] = \tfrac12\bigl[\cos(3x) - \cos(7x)\bigr].

Passo 3

Substituindo essa expressão na integral, obtemos
\int \sin(2x)\,\sin(5x)\,dx = \tfrac12\int \bigl[\cos(3x) - \cos(7x)\bigr]\,dx.

Passo 4

Integramos termo a termo:
\int \cos(3x)\,dx = \tfrac{1}{3}\sin(3x), \quad \int \cos(7x)\,dx = \tfrac{1}{7}\sin(7x).
Portanto,
\int \sin(2x)\,\sin(5x)\,dx = \tfrac12\Bigl(\tfrac{1}{3}\sin(3x) - \tfrac{1}{7}\sin(7x)\Bigr) + C = \tfrac{1}{6}\sin(3x) - \tfrac{1}{14}\sin(7x) + C.

Resposta

\displaystyle \frac{1}{6}\sin(3x)\;-\;\frac{1}{14}\sin(7x)\;+\;C

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