(10,0 pts) Para cada um dos itens abaixo:
(a)
Estude a convergência da série
e se possivel obtenha a soma.
(a)
Passo 1
O enunciado pede para estudar a convergência da série
e, se possível, obter sua soma. O conteúdo principal aqui é o método telescópico, que usa frações parciais para revelar cancelamentos na soma.
Passo 2
Fazendo a decomposição em frações parciais, procuramos constantes
Igualando numeradores:
de onde
. Assim,
Passo 3
Escrevemos a soma parcial até
:
Como é telescópica, quase todos os termos se cancelam:
Passo 4
Para estudar a convergência, levamos
. Como
, obtemos
Portanto a série converge e sua soma é
.
Resposta
A série converge e