(10,0 pts) Para cada um dos itens abaixo:
(a) (2,0) Estude a convergência da série \sum_{i=1}^{\infty} \frac{1}{(2 n-1)(2 n+1)} e se possivel obtenha a soma.

Passo 1

O enunciado pede para estudar a convergência da série
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{(2n-1)(2n+1)}
e, se possível, obter sua soma. O conteúdo principal aqui é o método telescópico, que usa frações parciais para revelar cancelamentos na soma.

Passo 2

Fazendo a decomposição em frações parciais, procuramos constantes A\) e \(B\) tais que \[\frac{1}{(2n-1)(2n+1)} \;=\;\frac{A}{2n-1} + \frac{B}{2n+1}.
Igualando numeradores:
A(2n+1) + B(2n-1) = 1 \quad\Longrightarrow\quad \begin{cases} 2(A+B)=0,\\\ A - B = 1, \end{cases}
de onde A=\frac12\] e \(B=-\frac12. Assim,
\frac{1}{(2n-1)(2n+1)} = \frac{1}{2}\Bigl(\frac{1}{2n-1} - \frac{1}{2n+1}\Bigr).

Passo 3

Escrevemos a soma parcial até N:
S_N = \sum_{n=1}^{N} \frac{1}{(2n-1)(2n+1)} = \sum_{n=1}^{N} \frac{1}{2}\Bigl(\frac{1}{2n-1} - \frac{1}{2n+1}\Bigr).
Como é telescópica, quase todos os termos se cancelam:
S_N = \frac{1}{2}\Bigl[ (1-\tfrac{1}{3}) + (\tfrac{1}{3}-\tfrac{1}{5}) + \cdots + (\tfrac{1}{2N-1}-\tfrac{1}{2N+1}) \Bigr] = \frac{1}{2}\Bigl(1 - \tfrac{1}{2N+1}\Bigr).

Passo 4

Para estudar a convergência, levamos N\to\infty. Como \tfrac{1}{2N+1}\to0, obtemos
\lim_{N\to\infty} S_N = \frac{1}{2}\bigl(1 - 0\bigr) = \frac{1}{2}.
Portanto a série converge e sua soma é \tfrac12.

Resposta

A série converge e
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{(2n-1)(2n+1)} = \frac{1}{2}.

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