Calcule:
int x \sqrt{1-x^{2}} d x

Passo 1

O que o enunciado pede: calcular a integral indefinida
\int x \sqrt{1-x^{2}}\,dx.
Informações dadas: o integrando é x multiplicado por \sqrt{1-x^{2}}, ou seja por (1-x^{2})^{1/2}. O objetivo é encontrar uma primitiva (uma antiderivada) dessa função, isto é, uma função F(x) tal que F'(x)=x\sqrt{1-x^{2}}, e acrescentar a constante de integração C.

Passo 2

Qual estratégia usar? Aqui a expressão dentro da raiz é (1-x^{2}) e há um fator x\,dx multiplicando essa raiz. Isso é um indício clássico de que uma substituição do tipo u= (coisa dentro da raiz) vai simplificar, porque a diferencial de 1-x^{2} envolve exatamente x\,dx. Vou usar essa substituição porque é a mais direta e rápida nesta integral (mais simples que uma substituição trigonométrica neste caso).

Passo 3

Faço a substituição. Defino
u = 1 - x^{2}.
Agora calculo a diferencial du. Derivando ambos os lados em relação a x eu tenho
du = -2x\,dx.
Isto significa que posso resolver para x\,dx:
x\,dx = -\frac{1}{2}\,du.
Explicação curta: a diferencial du representa a variação de u quando x varia; aqui ela aparece proporcional a x\,dx, o que permite trocar x\,dx por uma constante vezes du.

Passo 4

Substituo u e x\,dx na integral original. Primeiro reescrevo o integrando:
\int x \sqrt{1-x^{2}}\,dx = \int x (1-x^{2})^{1/2}\,dx.
Usando u=(1-x^{2}) e x\,dx = -\tfrac{1}{2}\,du obtemos
\int x (1-x^{2})^{1/2}\,dx = \int u^{1/2}\left(-\tfrac{1}{2}\,du\right) = -\tfrac{1}{2}\int u^{1/2}\,du.

Passo 5

Agora aplico a regra de potência para integrais. A regra diz que, para n\neq -1,
\int u^{n}\,du = \frac{u^{n+1}}{n+1}+C.
Aqui n=\tfrac{1}{2}, então
\int u^{1/2}\,du = \frac{u^{3/2}}{3/2} = \frac{2}{3}u^{3/2}.
Multiplicando pelo fator -\tfrac{1}{2} que ficou fora, temos
-\tfrac{1}{2}\int u^{1/2}\,du = -\tfrac{1}{2}\cdot \frac{2}{3}u^{3/2} = -\frac{1}{3}u^{3/2}.

Passo 6

Volto à variável x substituindo u=1-x^{2}. Assim a primitiva encontrada é
-\frac{1}{3}(1-x^{2})^{3/2} + C,
onde C é a constante arbitrária de integração.

Passo 7

Verificação rápida (para você aprender a checar no prova): derivo a primitiva para confirmar que volto ao integrando. Seja
F(x) = -\tfrac{1}{3}(1-x^{2})^{3/2}.
Usando a regra da cadeia,
F'(x) = -\tfrac{1}{3}\cdot \tfrac{3}{2}(1-x^{2})^{1/2}\cdot(-2x).
Simplificando os fatores numéricos: -\tfrac{1}{3}\cdot \tfrac{3}{2}\cdot(-2x)=x. Logo
F'(x)=x(1-x^{2})^{1/2},
que é exatamente o integrando. Perfeito!

Resposta

-\dfrac{1}{3}(1-x^{2})^{3/2}+C

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