Calcule:
Passo 1
O que o enunciado pede: calcular a integral indefinida
Informações dadas: o integrando é
multiplicado por
, ou seja por
. O objetivo é encontrar uma primitiva (uma antiderivada) dessa função, isto é, uma função
tal que
, e acrescentar a constante de integração
.
Passo 2
Qual estratégia usar? Aqui a expressão dentro da raiz é
e há um fator
multiplicando essa raiz. Isso é um indício clássico de que uma substituição do tipo
(coisa dentro da raiz) vai simplificar, porque a diferencial de
envolve exatamente
. Vou usar essa substituição porque é a mais direta e rápida nesta integral (mais simples que uma substituição trigonométrica neste caso).
Passo 3
Faço a substituição. Defino
Agora calculo a diferencial
. Derivando ambos os lados em relação a
eu tenho
Isto significa que posso resolver para
:
Explicação curta: a diferencial
representa a variação de
quando
varia; aqui ela aparece proporcional a
, o que permite trocar
por uma constante vezes
.
Passo 4
Substituo
e
na integral original. Primeiro reescrevo o integrando:
Usando
e
obtemos
Passo 5
Agora aplico a regra de potência para integrais. A regra diz que, para
,
Aqui
, então
Multiplicando pelo fator
que ficou fora, temos
Passo 6
Volto à variável
substituindo
. Assim a primitiva encontrada é
onde
é a constante arbitrária de integração.
Passo 7
Verificação rápida (para você aprender a checar no prova): derivo a primitiva para confirmar que volto ao integrando. Seja
Usando a regra da cadeia,
Simplificando os fatores numéricos:
. Logo
que é exatamente o integrando. Perfeito!