Resolva as equaçōes:
2^{i x+7}=128

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação exponencial com expoente complexo
2^{\,i x + 7} = 128
Aqui vamos usar propriedades de potências e da função exponencial complexa.

Passo 2

Separe a potência em duas partes usando 2^{\,a+b}=2^a\cdot2^b:
2^{\,i x + 7} = 2^{\,i x}\cdot 2^7.

Passo 3

Reconheça que 128 é uma potência de 2, pois
128 = 2^7.
Logo a equação fica
2^{\,i x}\cdot2^7 = 2^7.

Passo 4

Divida ambos os lados por 2^7, obtendo
2^{\,i x} = 1.

Passo 5

Use a relação entre potência e exponencial:
2^{\,i x} = e^{\,i x \ln 2}.
Então precisamos de
e^{\,i x \ln 2} = 1.
Sabemos que e^{i\theta}=1 exatamente quando \theta = 2\pi k, com k\in\mathbb{Z}. Portanto
x\ln 2 = 2\pi k \quad\Longrightarrow\quad x = \frac{2\pi k}{\ln 2}, \quad k\in\mathbb{Z}.

Resposta

x = \frac{2\pi k}{\ln 2},\quad k\in\mathbb{Z}.

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