Calcule \int_{S} F \cdot n d S, onde F(x, y, z)=\left(y,-x, z^{2}\right) através da superfície S: z=x^{2}+y^{2}, 0 \leq z \leq 1, na direção do vetor normal n exterior.

Passo 1

O enunciado pede o fluxo de F através da superfície S dada por z=x^{2}+y^{2} com 0\le z\le 1, usando o vetor normal n “exterior”.
Informações dadas e o que devemos encontrar:
  • Campo vetorial: F(x,y,z)=\left(y,\,-x,\,z^{2}\right).
  • Superfície S: porção lateral do paraboloide z=x^{2}+y^{2} entre z=0 e z=1.
  • Orientação: vetor normal exterior, isto é, o normal apontando para fora do sólido limitado por S e pelo disco superior z=1.
  • Objetivo: calcular \displaystyle \iint_{S} F\cdot n\,dS, o fluxo de F através de S com essa orientação exterior.

Passo 2

Estratégia escolhida (explicação didática): em vez de parametrizar diretamente a superfície parabólica (o que é possível, mas trabalhoso), vamos usar o Teorema da Divergência (também conhecido como Teorema de Gauss) aplicado ao sólido V que é limitado por S (a lateral do paraboloide) e pelo disco superior D em z=1. O Teorema da Divergência diz que, para um sólido V com fronteira \partial V orientada por normais exteriores,
\iint_{\partial V} F\cdot n\,dS=\iiint_{V} (\nabla\cdot F)\,dV.
Aqui \partial V é a união de S (paraboloide) e D (disco no plano z=1). Assim,
\iint_{S} F\cdot n\,dS+\iint_{D} F\cdot n\,dS=\iiint_{V} (\nabla\cdot F)\,dV.
Vamos:
  1. Calcular \nabla\cdot F.
  2. Calcular o integral triplo \iiint_{V} (\nabla\cdot F)\,dV.
  3. Calcular o fluxo através do disco D.
  4. Isolar \iint_{S} F\cdot n\,dS por subtração.

Passo 3

Calcular a divergência \nabla\cdot F. Por definição,
\nabla\cdot F=\frac{\partial}{\partial x}(F_1)+\frac{\partial}{\partial y}(F_2)+\frac{\partial}{\partial z}(F_3),
onde F=(F_1,F_2,F_3). Para nosso F,
F_1(y)=y,\qquad F_2(x)=-x,\qquad F_3(z)=z^{2}.
Logo
\nabla\cdot F=\frac{\partial}{\partial x}(y)+\frac{\partial}{\partial y}(-x)+\frac{\partial}{\partial z}(z^{2})=0+0+2z=2z.

Passo 4

Calcular o integral triplo \displaystyle \iiint_{V} 2z\,dV. Descrevendo V: para cada ponto no disco x^{2}+y^{2}\le 1 no plano z=1, o z varia de z=x^{2}+y^{2} até z=1. É conveniente usar coordenadas cilíndricas:
  • x=r\cos\theta, y=r\sin\theta, z=z.
  • Elemento de volume: dV=r\,dz\,dr\,d\theta.
  • Região na base: 0\le r\le 1, 0\le\theta\le 2\pi.
    Portanto
\iiint_{V} 2z\,dV=\int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{1}\int_{r^{2}}^{1} 2z\cdot r\,dz\,dr\,d\theta.
Vamos avaliar a integral por partes (primeiro em z):
\int_{r^{2}}^{1} 2z\,dz = \bigl[z^{2}\bigr]_{z=r^{2}}^{z=1}=1-(r^{2})^{2}=1-r^{4}.
Multiplicando por r obtemos o integrando em r:
r(1-r^{4})=r-r^{5}.
Agora integrar em r e \theta:
\int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{1} (r-r^{5})\,dr\,d\theta =\int_{0}^{2\pi}\left[\frac{1}{2}r^{2}-\frac{1}{6}r^{6}\right]_{0}^{1} d\theta =\int_{0}^{2\pi}\left(\frac{1}{2}-\frac{1}{6}\right)d\theta =\int_{0}^{2\pi}\frac{1}{3}\,d\theta.
Finalmente,
\iiint_{V} 2z\,dV=\frac{1}{3}\cdot 2\pi=\frac{2\pi}{3}.
Esse é o fluxo total através da fronteira \partial V (paraboloide S mais disco D):
\iint_{S} F\cdot n\,dS+\iint_{D} F\cdot n\,dS=\frac{2\pi}{3}.

Passo 5

Calcular o fluxo através do disco superior D (plano z=1, x^{2}+y^{2}\le 1) com normal exterior. Observação sobre orientação: o volume V está abaixo do disco z=1, então o normal exterior na face D aponta para cima, isto é, n=(0,0,1). No disco temos z=1, então
F(x,y,1)=\bigl(y,\,-x,\,1\bigr).
O produto escalar com a normal é
F\cdot n = \bigl(y,-x,1\bigr)\cdot(0,0,1)=1.
Portanto o fluxo através do disco é simplesmente a área do disco:
\iint_{D} F\cdot n\,dS=\iint_{x^{2}+y^{2}\le 1} 1\,dA=\text{Área do disco de raio 1}= \pi.Á

Passo 6

Isolar o fluxo através do paraboloide S usando a relação do Teorema da Divergência:
\iint_{S} F\cdot n\,dS=\iiint_{V}(\nabla\cdot F)\,dV - \iint_{D} F\cdot n\,dS.
Substituindo os valores que calculamos:
\iint_{S} F\cdot n\,dS=\frac{2\pi}{3}-\pi.

Resposta

-\dfrac{\pi}{3}

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