Calcule
, onde
através da superfície
, na direção do vetor normal
exterior.
Passo 1
O enunciado pede o fluxo de
através da superfície
dada por
com
, usando o vetor normal
“exterior”.
Informações dadas e o que devemos encontrar:
Informações dadas e o que devemos encontrar:
- Campo vetorial:
. - Superfície
: porção lateral do paraboloide entre e . - Orientação: vetor normal exterior, isto é, o normal apontando para fora do sólido limitado por
e pelo disco superior . - Objetivo: calcular
, o fluxo de através de com essa orientação exterior.
Passo 2
Estratégia escolhida (explicação didática): em vez de parametrizar diretamente a superfície parabólica (o que é possível, mas trabalhoso), vamos usar o Teorema da Divergência (também conhecido como Teorema de Gauss) aplicado ao sólido
que é limitado por
(a lateral do paraboloide) e pelo disco superior
em
. O Teorema da Divergência diz que, para um sólido
com fronteira
orientada por normais exteriores,
Aqui
é a união de
(paraboloide) e
(disco no plano
). Assim,
Vamos:
- Calcular
. - Calcular o integral triplo
. - Calcular o fluxo através do disco
. - Isolar
por subtração.
Passo 3
Calcular a divergência
. Por definição,
onde
. Para nosso
,
Logo
Passo 4
Calcular o integral triplo
. Descrevendo
: para cada ponto no disco
no plano
, o
varia de
até
. É conveniente usar coordenadas cilíndricas:
-
, , . - Elemento de volume:
. - Região na base:
, .
Portanto
Vamos avaliar a integral por partes (primeiro em
):
Multiplicando por
obtemos o integrando em
:
Agora integrar em
e
:
Finalmente,
Esse é o fluxo total através da fronteira
(paraboloide
mais disco
):
Passo 5
Calcular o fluxo através do disco superior
(plano
,
) com normal exterior. Observação sobre orientação: o volume
está abaixo do disco
, então o normal exterior na face
aponta para cima, isto é,
. No disco temos
, então
O produto escalar com a normal é
Portanto o fluxo através do disco é simplesmente a área do disco:
Passo 6
Isolar o fluxo através do paraboloide
usando a relação do Teorema da Divergência:
Substituindo os valores que calculamos: