Calcule o fluxo do campo F(x, y, z)=\left(z, x, 3 y^{2} z\right) através da superfície S parte do cilindro x^{2}+y^{2}=16, situado no primeiro octante, entre os planos z=0, z=5 com normal n exterior ao cilindro.

Passo 1

O enunciado pede: calcular o fluxo do campo F(x,y,z)=\left(z, x, 3y^{2}z\right) através da superfície S que é a parte do cilindro x^{2}+y^{2}=16 situada no primeiro octante ( x\ge0,\;y\ge0,\;z\ge0), entre os planos z=0 e z=5. A orientação é dada pelo vetor normal n exterior ao cilindro (isto é, apontando radialmente para fora).
Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • A superfície S é o cilindro de raio 4 (porque x^{2}+y^{2}=16 implica raio a=4).
  • O parâmetro angular varia no primeiro quadrante: \theta\in[0,\pi/2].
  • A coordenada vertical varia entre z=0 e z=5.
  • Queremos o fluxo \iint_{S} F\cdot n\,dS com n apontando para fora do cilindro.

Passo 2

Escolha do método: posso calcular o fluxo parametrizando diretamente a superfície cilíndrica ou usar o Teorema da Divergência aplicando-o a uma superfície fechada que envolva o cilindro e subtrair contribuições das tampas e planos coordenados. Aqui escolho a parametrização direta da superfície cilíndrica porque é simples e direta: para superfícies de cilindro o elemento de área vetorial tem forma bem conhecida e a integral fica rápida. Além disso é um método básico, fácil de executar sem truques extras — bom para uma prova com tempo curto.

Passo 3

Parametrização da superfície cilíndrica e cálculo do elemento de área vetorial.
Parametrizamos a casca do cilindro por
r(\theta,z)=\bigl(a\cos\theta,\;a\sin\theta,\;z\bigr),
onde a=4, \theta\in[0,\pi/2] (primeiro octante em x,y) e z\in[0,5].
Calculamos as derivadas parciais:
r_{\theta}(\theta,z)=\frac{\partial r}{\partial\theta}=(-a\sin\theta,\;a\cos\theta,\;0),
r_{z}(\theta,z)=\frac{\partial r}{\partial z}=(0,\;0,\;1).
O elemento de área vetorial orientado é dado por r_{\theta}\times r_{z}\,d\theta\,dz. Vamos calcular o produto vetorial:
r_{\theta}\times r_{z} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\\\ - a\sin\theta & a\cos\theta & 0 \\\\ 0 & 0 & 1 \end{vmatrix} = (a\cos\theta,\;a\sin\theta,\;0).
Observação sobre a orientação: este vetor aponta radialmente para fora (componentes (a\cos\theta,a\sin\theta,0) são a vezes a direção radial), portanto coincide com a normal exterior pedida. O módulo é |r_{\theta}\times r_{z}|=a, daí o elemento de área escalar é dS = a\,d\theta\,dz. O elemento de área vetorial é
d\mathbf{S}=r_{\theta}\times r_{z}\,d\theta\,dz=(a\cos\theta,\;a\sin\theta,\;0)\,d\theta\,dz.

Passo 4

Avaliar o campo F sobre a superfície (substituir x=a\cos\theta,\;y=a\sin\theta):
F\bigl(r(\theta,z)\bigr)=\bigl(z,\;a\cos\theta,\;3(a\sin\theta)^{2}z\bigr) =\bigl(z,\;a\cos\theta,\;3a^{2}\sin^{2}\theta\,z\bigr).

Passo 5

Calcular o produto escalar F\cdot (r_{\theta}\times r_{z}) que aparece na integral de fluxo:
F\cdot (r_{\theta}\times r_{z}) = \bigl(z,\;a\cos\theta,\;3a^{2}\sin^{2}\theta\,z\bigr)\cdot (a\cos\theta,\;a\sin\theta,\;0).
Fazendo o produto escalar:
F\cdot (r_{\theta}\times r_{z}) = a z\cos\theta + a^{2}\cos\theta\sin\theta + 0.
Portanto o integrando da integral dupla é a z\cos\theta + a^{2}\cos\theta\sin\theta.

Passo 6

Escrever a integral de fluxo e integrar em z primeiro:
\Phi=\iint_{S} F\cdot n\,dS =\int_{\theta=0}^{\pi/2}\int_{z=0}^{5}\bigl(a z\cos\theta + a^{2}\cos\theta\sin\theta\bigr)\,dz\,d\theta.
Integrando em z:
\int_{0}^{5}\bigl(a z\cos\theta\bigr)\,dz = a\cos\theta\int_{0}^{5} z\,dz = a\cos\theta\cdot\frac{5^{2}}{2} = \frac{25a}{2}\cos\theta,
\int_{0}^{5}\bigl(a^{2}\cos\theta\sin\theta\bigr)\,dz = a^{2}\cos\theta\sin\theta\int_{0}^{5}dz = 5a^{2}\cos\theta\sin\theta.
Somando:
\int_{0}^{5}\bigl(a z\cos\theta + a^{2}\cos\theta\sin\theta\bigr)\,dz = \frac{25a}{2}\cos\theta + 5a^{2}\cos\theta\sin\theta.

Passo 7

Integrar agora em \theta de 0 a \pi/2:
\Phi=\int_{0}^{\pi/2}\left(\frac{25a}{2}\cos\theta + 5a^{2}\cos\theta\sin\theta\right)\,d\theta.
Calcule as duas integrais separadamente.
Primeira:
\int_{0}^{\pi/2}\cos\theta\,d\theta = \bigl[\sin\theta\bigr]_{0}^{\pi/2}=1.
Portanto a contribuição da primeira parte é \frac{25a}{2}.
Segunda:
\int_{0}^{\pi/2}\cos\theta\sin\theta\,d\theta = \frac{1}{2}\int_{0}^{\pi/2}\sin(2\theta)\,d\theta.
Ou simplesmente use u=\sin\theta para ver que \int_{0}^{\pi/2}\cos\theta\sin\theta\,d\theta=\frac{1}{2}. Assim a contribuição da segunda parte é 5a^{2}\cdot\frac{1}{2}=\frac{5a^{2}}{2}.
Somando as contribuições:
\Phi = \frac{25a}{2} + \frac{5a^{2}}{2} = \frac{1}{2}\bigl(25a + 5a^{2}\bigr).

Passo 8

Substituir a=4 (porque x^{2}+y^{2}=16 implica raio a=4) e calcular numericamente:
\frac{25a}{2} = \frac{25\cdot 4}{2}=50,
\frac{5a^{2}}{2} = \frac{5\cdot 4^{2}}{2}=\frac{5\cdot 16}{2}=40.
Somando:
\Phi = 50 + 40 = 90.

Resposta

90

Exercícios relacionados