Calcule o fluxo do campo F(x, y, z)=\left(z, x, 3 y^{2} z\right) através da superfície S parte do cilindro x^{2}+y^{2}=16, situado no primeiro octante, entre os planos z=0, z=5 com normal n exterior ao cilindro.
Passo 1
O enunciado pede: calcular o fluxo do campo F(x,y,z)=\left(z, x, 3y^{2}z\right) através da superfície S que é a parte do cilindro x^{2}+y^{2}=16 situada no primeiro octante (x\ge0,\;y\ge0,\;z\ge0), entre os planos z=0 e z=5. A orientação é dada pelo vetor normal n exterior ao cilindro (isto é, apontando radialmente para fora).
Informações relevantes extraídas do enunciado:
A superfície S é o cilindro de raio 4 (porque x^{2}+y^{2}=16 implica raio a=4).
O parâmetro angular varia no primeiro quadrante: \theta\in[0,\pi/2].
A coordenada vertical varia entre z=0 e z=5.
Queremos o fluxo \iint_{S} F\cdot n\,dS com n apontando para fora do cilindro.
Passo 2
Escolha do método: posso calcular o fluxo parametrizando diretamente a superfície cilíndrica ou usar o Teorema da Divergência aplicando-o a uma superfície fechada que envolva o cilindro e subtrair contribuições das tampas e planos coordenados. Aqui escolho a parametrização direta da superfície cilíndrica porque é simples e direta: para superfícies de cilindro o elemento de área vetorial tem forma bem conhecida e a integral fica rápida. Além disso é um método básico, fácil de executar sem truques extras — bom para uma prova com tempo curto.
Passo 3
Parametrização da superfície cilíndrica e cálculo do elemento de área vetorial.
Observação sobre a orientação: este vetor aponta radialmente para fora (componentes (a\cos\theta,a\sin\theta,0) são a vezes a direção radial), portanto coincide com a normal exterior pedida. O módulo é |r_{\theta}\times r_{z}|=a, daí o elemento de área escalar é dS = a\,d\theta\,dz. O elemento de área vetorial é
Ou simplesmente use u=\sin\theta para ver que \int_{0}^{\pi/2}\cos\theta\sin\theta\,d\theta=\frac{1}{2}. Assim a contribuição da segunda parte é 5a^{2}\cdot\frac{1}{2}=\frac{5a^{2}}{2}.