Calcule
Passo 1
O que o enunciado pede: calcular a integral
Informações dadas (só o que está no enunciado):
- A função a integrar é
. - Não há limites (é uma integral indefinida), portanto a resposta deve conter a constante de integração
.
Passo 2
Estratégia escolhida (explicação didática e motivo): quando numa integral trigonométrica uma das potências de seno ou cosseno é ímpar, é comum separar um fator desse seno ou cosseno e usar a identidade
(ou
), para depois fazer a substituição
(ou
). Aqui a potência de
é ímpar (
), então vamos reservar um fator
para ser
e escrever o resto em função de
. Isso simplifica para uma integral polinomial em
.
Passo 3
Reescrever a integranda isolando um
:
Usar
para transformar
:
Logo a integranda fica
Passo 4
Fazer a substituição
. Explicar cada símbolo:
-
é a nova variável definida por . - Então
, ou seja .
Substituindo na integral (observando que peguei a expressão
da integranda):
Colocando o sinal para fora:
Passo 5
Expandir o polinômio para integrar facilmente. Primeiro
Multiplicando por
:
Portanto a integral em
é
Passo 6
Integrar termo a termo usando
:
Somando e acrescentando a constante de integração
:
Passo 7
Voltar para a variável original
substituindo
:
Passo 8
Verificação rápida (opcional, mas instrutiva): derivando a resposta obtida deve-se recuperar a integranda. Derivando termo a termo e usando
obtém-se, após simplificar, exatamente
. Isso confirma que a primitiva está correta.