Calcule
\int \sin ^{5} x \cos ^{4} x d x

Passo 1

O que o enunciado pede: calcular a integral
\int \sin^{5}x\cos^{4}x\,dx.
Informações dadas (só o que está no enunciado):
  • A função a integrar é \sin^{5}x\cos^{4}x.
  • Não há limites (é uma integral indefinida), portanto a resposta deve conter a constante de integração C.

Passo 2

Estratégia escolhida (explicação didática e motivo): quando numa integral trigonométrica uma das potências de seno ou cosseno é ímpar, é comum separar um fator desse seno ou cosseno e usar a identidade \sin^{2}x=1-\cos^{2}x (ou \cos^{2}x=1-\sin^{2}x), para depois fazer a substituição u=\cos x (ou u=\sin x). Aqui a potência de \sin x é ímpar ( 5), então vamos reservar um fator \sin x\,dx para ser du e escrever o resto em função de \cos x. Isso simplifica para uma integral polinomial em u.

Passo 3

Reescrever a integranda isolando um \sin x:
\sin^{5}x\cos^{4}x = \sin^{4}x\cdot\sin x\cdot\cos^{4}x.
Usar \sin^{2}x=1-\cos^{2}x para transformar \sin^{4}x=(\sin^{2}x)^{2}:
\sin^{4}x = (1-\cos^{2}x)^{2}.
Logo a integranda fica
\sin^{5}x\cos^{4}x = (1-\cos^{2}x)^{2}\cdot\sin x\cdot\cos^{4}x.

Passo 4

Fazer a substituição u=\cos x. Explicar cada símbolo:
  • u é a nova variável definida por u=\cos x.
  • Então du=\dfrac{d}{dx}(\cos x)\,dx = -\sin x\,dx, ou seja \sin x\,dx = -du.
Substituindo na integral (observando que peguei a expressão (1-\cos^{2}x)^{2}\cos^{4}x da integranda):
\int \sin^{5}x\cos^{4}x\,dx = \int (1-\cos^{2}x)^{2}\cos^{4}x\cdot\sin x\,dx = \int (1-u^{2})^{2}u^{4}\cdot(-du).
Colocando o sinal para fora:
= -\int u^{4}(1-u^{2})^{2}\,du.

Passo 5

Expandir o polinômio para integrar facilmente. Primeiro
(1-u^{2})^{2} = 1 - 2u^{2} + u^{4}.
Multiplicando por u^{4}:
u^{4}(1-u^{2})^{2} = u^{4} - 2u^{6} + u^{8}.
Portanto a integral em u é
- \int \bigl(u^{4} - 2u^{6} + u^{8}\bigr)\,du = -\int u^{4}\,du + 2\int u^{6}\,du - \int u^{8}\,du.

Passo 6

Integrar termo a termo usando \int u^{n}\,du = \dfrac{u^{n+1}}{n+1}:
-\int u^{4}\,du = -\frac{u^{5}}{5},\qquad 2\int u^{6}\,du = 2\cdot\frac{u^{7}}{7}=\frac{2u^{7}}{7},\qquad -\int u^{8}\,du = -\frac{u^{9}}{9}.
Somando e acrescentando a constante de integração C:
-\frac{u^{5}}{5}+\frac{2u^{7}}{7}-\frac{u^{9}}{9}+C.

Passo 7

Voltar para a variável original x substituindo u=\cos x:
-\frac{\cos^{5}x}{5}+\frac{2\cos^{7}x}{7}-\frac{\cos^{9}x}{9}+C.

Passo 8

Verificação rápida (opcional, mas instrutiva): derivando a resposta obtida deve-se recuperar a integranda. Derivando termo a termo e usando \dfrac{d}{dx}\cos^{n}x = n\cos^{n-1}x\cdot(-\sin x) obtém-se, após simplificar, exatamente \sin^{5}x\cos^{4}x. Isso confirma que a primitiva está correta.

Resposta

-\dfrac{\cos^{5}x}{5}+\dfrac{2\cos^{7}x}{7}-\dfrac{\cos^{9}x}{9}+C

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