- O objeto em queda no Exemplo 2 satisfaz o problema de valor inicial
(a) Encontre o tempo decorrido quando o objeto atinge
de sua velocidade limite.
(b) Qual a distância percorrida pelo objeto até o instante encontrado no item (a)?
10. Modifique o Exemplo 2 de modo que o objeto em queda não sofra resistência do ar.
(a) Escreva o problema de valor inicial modificado.
(b) Determine quanto tempo leva para o objeto atingir o solo.
(c) Determine sua velocidade no instante de impacto.
(b) Qual a distância percorrida pelo objeto até o instante encontrado no item (a)?
10. Modifique o Exemplo 2 de modo que o objeto em queda não sofra resistência do ar.
(a) Escreva o problema de valor inicial modificado.
(b) Determine quanto tempo leva para o objeto atingir o solo.
(c) Determine sua velocidade no instante de impacto.
Passo 1
Vou listar com clareza o que o enunciado dá e o que pede (sem resolver ainda).
-
Dados fornecidos (peguei diretamente do enunciado):
- A equação diferencial para a velocidade é
. - Condição inicial:
.
- A equação diferencial para a velocidade é
-
Perguntas:
- (9a) Encontrar o tempo decorrido quando o objeto atinge
de sua velocidade limite. - (9b) Determinar a distância percorrida até o instante encontrado em (9a).
- (10a) Modificar o problema para o caso sem resistência do ar: escrever o problema de valor inicial modificado.
- (10b) Determinar quanto tempo leva para o objeto atingir o solo (no caso sem resistência).
- (10c) Determinar a velocidade no instante de impacto (no caso sem resistência).
- (9a) Encontrar o tempo decorrido quando o objeto atinge
-
Observação importante sobre (10b)-(10c):
- O enunciado refere-se ao “Exemplo 2” para obter provavelmente a altura inicial de onde o objeto cai. Essa altura não foi enviada aqui. Portanto não é possível fornecer valores numéricos para o tempo de queda e velocidade de impacto sem saber a altura inicial. Vou:
- (i) escrever o PVI modificado pedido em (10a);
- (ii) resolver simbolicamente (em função da altura inicial
) as perguntas (10b) e (10c) e explicar como obter um valor numérico caso a altura seja fornecida.
- O enunciado refere-se ao “Exemplo 2” para obter provavelmente a altura inicial de onde o objeto cai. Essa altura não foi enviada aqui. Portanto não é possível fornecer valores numéricos para o tempo de queda e velocidade de impacto sem saber a altura inicial. Vou:
Passo 2
Entendendo a equação e a ideia de velocidade limite (aulas rápidas, sem jargões).
- A equação
é uma equação diferencial linear de 1ª ordem para . - A “velocidade limite” (ou velocidade terminal) é o valor de
quando a aceleração vira zero, isto é, solução de . - Resolver
dá e assim
- Intuição: o termo
puxa para aumentar , o termo é resistência proporcional a que limita o crescimento; no equilíbrio esses termos se compensam.
- Resolver
Passo 3
Resolver a equação diferencial para
(método do fator integrante, explicado passo a passo).
- Escrevemos no formato padrão:
- O fator integrante é
. - Multiplicamos a equação por
:
- O lado esquerdo é a derivada de
, pois .
Assim
- Integramos em
:
- A integral é
(porque derivada de é ). - Logo
- Aplicando a condição inicial
:
- Portanto a solução particular é
- Essa fórmula mostra explicitamente que
e quando temos , como já esperávamos.
Passo 4
Resolver (9a): tempo para atingir
da velocidade limite (passo a passo).
-
de é . Calculemos em forma exata primeiro:
- Dividindo ambos os lados por
:
- Tomando logaritmo natural:
- Observação:
, então . Assim uma forma mais simples é
- Valor numérico (aproximando
):
Passo 5
Resolver (9b): distância percorrida até o tempo encontrado (integrando a velocidade).
- Seja
a distância percorrida desde . Temos e . - Integramos:
- Calcule a primitiva explicitamente:
- Assim uma primitiva é
. Impondo determina a constante e obtemos a fórmula correta
- Agora usamos o tempo
encontrado no item (9a). Observe que
- Substituindo,
- Simplificando numericamente:
e .
Usandoobtém-se
- Portanto a distância percorrida até atingir
da velocidade limite é aproximadamente metros.
Passo 6
Agora o item 10: caso sem resistência do ar — (10a) escrever o PVI modificado e explicar a física por trás.
- Sem resistência do ar, a única aceleração é a gravidade
(usando o mesmo sinal convetido no enunciado). O PVI para a velocidade é simplesmente
- Essa é a forma pedida no (10a). Intuição rápida: a aceleração é constante, portanto a velocidade cresce linearmente com o tempo.
Passo 7
Resolver as expressões gerais para (10b) e (10c) em função da altura inicial
(porque o valor numérico de
não foi fornecido).
- Defina
como a distância caída a partir do repouso, com . Então com temos
- O objeto atinge o solo quando
, onde é a altura inicial (valor não fornecido no enunciado). Assim o tempo de queda satisfaz
- A velocidade no impacto é
. Substituindo a expressão de obtemos a forma clássica
- Conclusão: sem a altura
não é possível dar um número; as fórmulas em função de são: -
. -
.
-
Resposta
(9a)
(9b)
(10a) Problema de valor inicial sem resistência:
(10b) Não é possível fornecer um valor numérico porque a altura inicial
do Exemplo 2 não foi informada. Em função de
:
(10c) Não é possível fornecer um valor numérico porque a altura inicial
do Exemplo 2 não foi informada. Em função de
: