1. O objeto em queda no Exemplo 2 satisfaz o problema de valor inicial
d v / d t=9,8-(v / 5), \quad v(0)=0 .
(a) Encontre o tempo decorrido quando o objeto atinge 98 \% de sua velocidade limite.
(b) Qual a distância percorrida pelo objeto até o instante encontrado no item (a)?
10. Modifique o Exemplo 2 de modo que o objeto em queda não sofra resistência do ar.
(a) Escreva o problema de valor inicial modificado.
(b) Determine quanto tempo leva para o objeto atingir o solo.
(c) Determine sua velocidade no instante de impacto.

Passo 1

Vou listar com clareza o que o enunciado dá e o que pede (sem resolver ainda).
  • Dados fornecidos (peguei diretamente do enunciado):
    • A equação diferencial para a velocidade é \dfrac{dv}{dt}=9{,}8-\dfrac{v}{5}.
    • Condição inicial: v(0)=0.
  • Perguntas:
    • (9a) Encontrar o tempo decorrido quando o objeto atinge 98\% de sua velocidade limite.
    • (9b) Determinar a distância percorrida até o instante encontrado em (9a).
    • (10a) Modificar o problema para o caso sem resistência do ar: escrever o problema de valor inicial modificado.
    • (10b) Determinar quanto tempo leva para o objeto atingir o solo (no caso sem resistência).
    • (10c) Determinar a velocidade no instante de impacto (no caso sem resistência).
  • Observação importante sobre (10b)-(10c):
    • O enunciado refere-se ao “Exemplo 2” para obter provavelmente a altura inicial de onde o objeto cai. Essa altura não foi enviada aqui. Portanto não é possível fornecer valores numéricos para o tempo de queda e velocidade de impacto sem saber a altura inicial. Vou:
      • (i) escrever o PVI modificado pedido em (10a);
      • (ii) resolver simbolicamente (em função da altura inicial H) as perguntas (10b) e (10c) e explicar como obter um valor numérico caso a altura seja fornecida.

Passo 2

Entendendo a equação e a ideia de velocidade limite (aulas rápidas, sem jargões).
  • A equação \dfrac{dv}{dt}=9{,}8-\dfrac{v}{5} é uma equação diferencial linear de 1ª ordem para v(t).
  • A “velocidade limite” (ou velocidade terminal) é o valor de v quando a aceleração vira zero, isto é, solução de 0=9{,}8-\dfrac{v}{5}.
    • Resolver 0=9{,}8-\dfrac{v}{5} \dfrac{v}{5}=9{,}8 e assim
    v_{\infty}=5\cdot 9{,}8=49\quad(\text{m/s}).
    • Intuição: o termo 9{,}8 puxa para aumentar v, o termo -v/5 é resistência proporcional a v que limita o crescimento; no equilíbrio esses termos se compensam.

Passo 3

Resolver a equação diferencial para v(t) (método do fator integrante, explicado passo a passo).
  • Escrevemos no formato padrão:
\frac{dv}{dt}+\frac{1}{5}v=9{,}8.
  • O fator integrante é \mu(t)=e^{\int \frac{1}{5}dt}=e^{t/5}.
  • Multiplicamos a equação por \mu(t):
e^{t/5}\frac{dv}{dt}+\frac{1}{5}e^{t/5}v=9{,}8e^{t/5}.
  • O lado esquerdo é a derivada de e^{t/5}v, pois \dfrac{d}{dt}\big(e^{t/5}v\big)=e^{t/5}\dfrac{dv}{dt}+\frac{1}{5}e^{t/5}v.
    Assim
\frac{d}{dt}\big(e^{t/5}v\big)=9{,}8e^{t/5}.
  • Integramos em t:
e^{t/5}v=\int 9{,}8e^{t/5}dt + C.
  • A integral é \int 9{,}8e^{t/5}dt = 9{,}8\cdot 5 e^{t/5}=49 e^{t/5} (porque derivada de e^{t/5} é \tfrac{1}{5}e^{t/5}).
  • Logo
e^{t/5}v=49 e^{t/5}+C \quad\Rightarrow\quad v(t)=49 + C e^{-t/5}.
  • Aplicando a condição inicial v(0)=0:
0=49 + C\cdot 1 \quad\Rightarrow\quad C=-49.
  • Portanto a solução particular é
v(t)=49\big(1-e^{-t/5}\big).
  • Essa fórmula mostra explicitamente que v(0)=0 e quando t\to\infty temos v(t)\to49, como já esperávamos.

Passo 4

Resolver (9a): tempo para atingir 98\% da velocidade limite (passo a passo).
  • 98\% de v_{\infty}=49 é 0{,}98\cdot 49. Calculemos em forma exata primeiro:
v(t)=49\big(1-e^{-t/5}\big)=0{,}98\cdot 49.
  • Dividindo ambos os lados por 49:
1-e^{-t/5}=0{,}98 \quad\Rightarrow\quad e^{-t/5}=0{,}02.
  • Tomando logaritmo natural:
-\frac{t}{5}=\ln(0{,}02) \quad\Rightarrow\quad t=-5\ln(0{,}02).
  • Observação: 0{,}02=\dfrac{1}{50}, então \ln(0{,}02)=-\ln(50). Assim uma forma mais simples é
t=5\ln(50).
  • Valor numérico (aproximando \ln(50)\approx 3{,}912023):
t=5\ln(50)\approx 19{,}56\\ \text{s}.

Passo 5

Resolver (9b): distância percorrida até o tempo encontrado (integrando a velocidade).
  • Seja s(t) a distância percorrida desde t=0. Temos s'(t)=v(t)=49\big(1-e^{-t/5}\big) e s(0)=0.
  • Integramos:
s(t)=\int_0^{t}49\big(1-e^{-u/5}\big)du.
  • Calcule a primitiva explicitamente:
\int 49\,du =49u, \qquad \int -49 e^{-u/5}du =-49\cdot(-5)e^{-u/5}=245 e^{-u/5}.
  • Assim uma primitiva é 49u+245 e^{-u/5}. Impondo s(0)=0 determina a constante e obtemos a fórmula correta
s(t)=49t-245\big(1-e^{-t/5}\big).
  • Agora usamos o tempo t=5\ln(50) encontrado no item (9a). Observe que
e^{-t/5}=e^{-\ln(50)}=\frac{1}{50}=0{,}02.
  • Substituindo,
s\big(5\ln(50)\big)=49\cdot 5\ln(50)-245\big(1-0{,}02\big).
  • Simplificando numericamente: 49\cdot 5\ln(50)=245\ln(50) e 245(1-0{,}02)=245\cdot0{,}98=240{,}1.
    Usando \ln(50)\approx3{,}912023 obtém-se
s\approx 245\cdot 3{,}912023-240{,}1\approx 958{,}45-240{,}10\approx 718{,}35\\ \text{m}.
  • Portanto a distância percorrida até atingir 98\% da velocidade limite é aproximadamente 718{,}35 metros.

Passo 6

Agora o item 10: caso sem resistência do ar — (10a) escrever o PVI modificado e explicar a física por trás.
  • Sem resistência do ar, a única aceleração é a gravidade g=9{,}8 (usando o mesmo sinal convetido no enunciado). O PVI para a velocidade é simplesmente
\frac{dv}{dt}=9{,}8,\qquad v(0)=0.
  • Essa é a forma pedida no (10a). Intuição rápida: a aceleração é constante, portanto a velocidade cresce linearmente com o tempo.

Passo 7

Resolver as expressões gerais para (10b) e (10c) em função da altura inicial H (porque o valor numérico de H não foi fornecido).
  • Defina s(t) como a distância caída a partir do repouso, com s(0)=0. Então com a=g=9{,}8 temos
v(t)=g t =9{,}8\,t, \qquad s(t)=\frac{1}{2}g t^{2}=4{,}9\,t^{2}.
  • O objeto atinge o solo quando s(t)=H, onde H é a altura inicial (valor não fornecido no enunciado). Assim o tempo de queda T satisfaz
H=4{,}9\,T^{2}\quad\Rightarrow\quad T=\sqrt{\frac{H}{4{,}9}}=\sqrt{\frac{2H}{9{,}8}}.
  • A velocidade no impacto é v(T)=9{,}8\,T. Substituindo a expressão de T obtemos a forma clássica
v_{\text{impacto}}=\sqrt{2gH}=\sqrt{19{,}6\,H}.
  • Conclusão: sem a altura H não é possível dar um número; as fórmulas em função de H são:
    • T=\sqrt{\dfrac{2H}{9{,}8}}.
    • v_{\text{impacto}}=\sqrt{19{,}6\,H}.

Resposta

(9a) t=5\ln(50)\approx 19{,}56\\ \text{s}.
(9b) s\big(5\ln(50)\big)=245\ln(50)-240{,}1\approx 718{,}35\\ \text{m}.
(10a) Problema de valor inicial sem resistência:
\frac{dv}{dt}=9{,}8,\qquad v(0)=0.
(10b) Não é possível fornecer um valor numérico porque a altura inicial H do Exemplo 2 não foi informada. Em função de H:
T=\sqrt{\frac{2H}{9{,}8}}=\sqrt{\frac{H}{4{,}9}}.
(10c) Não é possível fornecer um valor numérico porque a altura inicial H do Exemplo 2 não foi informada. Em função de H:
v_{\text{impacto}}=\sqrt{2\cdot 9{,}8\cdot H}=\sqrt{19{,}6\,H}.

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