(Questão 01)

Durante um processo de tratamento térmico com deformação controlada, em um material metálico, acompanha-se a posição de um marcador microscópico, que se move no interior da peça, enquanto esta sofre aquecimento.
O movimento do marcador é descrito por uma função vetorial no espaço tridimensional:
Onde:
r(t)=\langle x(t), y(t), z(t)\rangle
x(t)=\frac{t}{1+t} \quad : representa o alongamento relativo do material, durante o processo;
y(t)=t^{2} e^{t} : está relacionado à variação de temperatura e energia de ativação da difusão;
z(t)=\frac{3 t}{1+t^{2}} : modela o deslocamento médio de átomos de soluto ao longo da espessura.
Considere t como um parâmetro de processo (adimensional)
(a) Determine a posição inicial do marcador no início do tratamento, isto é, calcule \lim _{t \rightarrow 0} r(t).
\lim _{t \rightarrow 0} r(t)=\langle 0,0,0\rangle
(b) Calcule a velocidade inicial r^{\prime}(\mathbf{0}).
r^{\prime}(0)=\langle 1,0,3\rangle
r^{\prime}(t)=\left\langle\frac{2 t+1}{(1+t)^{2}}, e^{t}\left(t^{2}+2 t\right), \frac{-3 t^{2}+3}{\left(1+t^{2}\right)^{2}}\right\rangle

Passo 1

O enunciado fornece a posição do marcador como função vetorial r(t)=\langle x(t),y(t),z(t)\rangle com:
x(t)=\frac{t}{1+t},\qquad y(t)=t^{2}e^{t},\qquad z(t)=\frac{3t}{1+t^{2}}.
As perguntas são:
(a) calcular a posição inicial do marcador, isto é \lim_{t\to 0} r(t);
(b) calcular a velocidade inicial r'(0).

Passo 2

Entendendo o limite de uma função vetorial: o limite de r(t) quando t\to 0 é o vetor formado pelos limites das componentes. Ou seja,
\lim_{t\to 0} r(t)=\left\langle \lim_{t\to 0} x(t),\\ \lim_{t\to 0} y(t),\\ \lim_{t\to 0} z(t)\right\rangle.
Vamos calcular cada limite de componente separadamente.

Passo 3

Cálculo do limite de x(t)=\dfrac{t}{1+t} quando t\to 0.
Aqui tanto numerador quanto denominador são funções contínuas e o denominador no ponto t=0 é 1\neq 0, portanto basta substituir t=0:
\lim_{t\to 0} x(t)=\lim_{t\to 0}\frac{t}{1+t}=\frac{0}{1}=0.

Passo 4

Cálculo do limite de y(t)=t^{2}e^{t} quando t\to 0.
Tanto t^{2} quanto e^{t} são contínuas em 0; assim o produto é contínuo e podemos substituir t=0:
\lim_{t\to 0} y(t)=\lim_{t\to 0} t^{2}e^{t}=0^{2}\cdot e^{0}=0\cdot 1=0.

Passo 5

Cálculo do limite de z(t)=\dfrac{3t}{1+t^{2}} quando t\to 0.
Novamente o denominador em t=0 é 1\neq 0, então:
\lim_{t\to 0} z(t)=\lim_{t\to 0}\frac{3t}{1+t^{2}}=\frac{3\cdot 0}{1+0}=0.

Passo 6

Concluindo a parte (a): colocando os três limites em forma de vetor,
\lim_{t\to 0} r(t)=\langle 0,0,0\rangle.

Passo 7

Agora vamos à derivada vetorial. Regra básica: a derivada de r(t)=\langle x(t),y(t),z(t)\rangle é o vetor das derivadas das componentes:
r'(t)=\langle x'(t),y'(t),z'(t)\rangle.
Vou calcular cada derivada componente a componente, mostrando as regras usadas.

Passo 8

Derivada de x(t)=\dfrac{t}{1+t}.
É prático reescrever como x(t)=t(1+t)^{-1} e usar a regra do produto: se u(t)=t e v(t)=(1+t)^{-1}, então x'=u'v+uv'.
  • u'(t)=1.
  • v'(t)=-1\cdot(1+t)^{-2}\cdot 1=-(1+t)^{-2} (regra da cadeia aplicada a (1+t)^{-1}).
Aplicando produto:
x'(t)=1\cdot(1+t)^{-1}+t\cdot\bigl(-(1+t)^{-2}\bigr)=\frac{1}{1+t}-\frac{t}{(1+t)^{2}}.
Colocando em denominador comum (1+t)^{2}:
x'(t)=\frac{1+t}{(1+t)^{2}}-\frac{t}{(1+t)^{2}}=\frac{1+t-t}{(1+t)^{2}}=\frac{1}{(1+t)^{2}}.
Observação alternativa: ao simplificar cuidadosamente obtém-se \dfrac{2t+1}{(1+t)^2} se houver erro de contagem; vamos reconferir com derivada direta por quociente para garantir consistência.
Usando a regra do quociente para verificar (mais direta): se x(t)=\dfrac{t}{1+t}, então
x'(t)=\frac{(1+t)\cdot 1 - t\cdot 1}{(1+t)^{2}}=\frac{1+t-t}{(1+t)^{2}}=\frac{1}{(1+t)^{2}}.
Portanto a expressão correta é
x'(t)=\frac{1}{(1+t)^{2}}.

Passo 9

Derivada de y(t)=t^{2}e^{t}.
Usamos a regra do produto com u(t)=t^{2} e v(t)=e^{t}:
  • u'(t)=2t.
  • v'(t)=e^{t}.
Logo
y'(t)=u'v+uv'=2t\cdot e^{t}+t^{2}\cdot e^{t}=e^{t}(2t+t^{2})=e^{t}\bigl(t^{2}+2t\bigr).

Passo 10

Derivada de z(t)=\dfrac{3t}{1+t^{2}}.
Reescrevendo z(t)=3t(1+t^{2})^{-1} e aplicando a regra do produto com u(t)=3t e v(t)=(1+t^{2})^{-1}:
  • u'(t)=3.
  • v'(t)=-1\cdot(1+t^{2})^{-2}\cdot 2t = -\dfrac{2t}{(1+t^{2})^{2}}.
Aplicando produto:
z'(t)=3\cdot(1+t^{2})^{-1} + 3t\cdot\left(-\frac{2t}{(1+t^{2})^{2}}\right) = \frac{3}{1+t^{2}} - \frac{6t^{2}}{(1+t^{2})^{2}}.
Colocando em denominador comum (1+t^{2})^{2}:
z'(t)=\frac{3(1+t^{2})-6t^{2}}{(1+t^{2})^{2}} =\frac{3+3t^{2}-6t^{2}}{(1+t^{2})^{2}} =\frac{3-3t^{2}}{(1+t^{2})^{2}} =\frac{3(1-t^{2})}{(1+t^{2})^{2}}.
Equivalente à forma
z'(t)=\frac{-3t^{2}+3}{(1+t^{2})^{2}}.

Passo 11

Assim temos a derivada vetorial geral
r'(t)=\left\langle \frac{1}{(1+t)^{2}},\\ e^{t}\bigl(t^{2}+2t\bigr),\\ \frac{-3t^{2}+3}{(1+t^{2})^{2}}\right\rangle.

Passo 12

Agora a velocidade inicial r'(0) é simplesmente o vetor r'(t) avaliado em t=0. Vamos substituir t=0 em cada componente:
  • Para x': \dfrac{1}{(1+0)^{2}}=\dfrac{1}{1}=1.
  • Para y': e^{0}\bigl(0^{2}+2\cdot 0\bigr)=1\cdot 0=0.
  • Para z': \dfrac{-3\cdot 0^{2}+3}{(1+0^{2})^{2}}=\dfrac{3}{1}=3.
Portanto
r'(0)=\langle 1,0,3\rangle.

Resposta

(a) \displaystyle \lim_{t\to 0} r(t)=\langle 0,0,0\rangle
(b) \displaystyle r'(0)=\langle 1,0,3\rangle

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