(Questão 01)
Durante um processo de tratamento térmico com deformação controlada, em um material metálico, acompanha-se a posição de um marcador microscópico, que se move no interior da peça, enquanto esta sofre aquecimento.
O movimento do marcador é descrito por uma função vetorial no espaço tridimensional:
Onde:
: representa o alongamento relativo do material, durante o processo;
: está relacionado à variação de temperatura e energia de ativação da difusão;
: modela o deslocamento médio de átomos de soluto ao longo da espessura.
Considere
como um parâmetro de processo (adimensional)
(a) Determine a posição inicial do marcador no início do tratamento, isto é, calcule
.
(b) Calcule a velocidade inicial
.
O movimento do marcador é descrito por uma função vetorial no espaço tridimensional:
Onde:
Considere
(a) Determine a posição inicial do marcador no início do tratamento, isto é, calcule
(b) Calcule a velocidade inicial
Passo 1
O enunciado fornece a posição do marcador como função vetorial
com:
As perguntas são:
(a) calcular a posição inicial do marcador, isto é ;
(b) calcular a velocidade inicial .
(a) calcular a posição inicial do marcador, isto é
(b) calcular a velocidade inicial
Passo 2
Entendendo o limite de uma função vetorial: o limite de
quando
é o vetor formado pelos limites das componentes. Ou seja,
Vamos calcular cada limite de componente separadamente.
Passo 3
Cálculo do limite de
quando
.
Aqui tanto numerador quanto denominador são funções contínuas e o denominador no ponto
é
, portanto basta substituir
:
Passo 4
Cálculo do limite de
quando
.
Tanto
quanto
são contínuas em
; assim o produto é contínuo e podemos substituir
:
Passo 5
Cálculo do limite de
quando
.
Novamente o denominador em
é
, então:
Passo 6
Concluindo a parte (a): colocando os três limites em forma de vetor,
Passo 7
Agora vamos à derivada vetorial. Regra básica: a derivada de
é o vetor das derivadas das componentes:
Vou calcular cada derivada componente a componente, mostrando as regras usadas.
Passo 8
Derivada de
.
É prático reescrever como
e usar a regra do produto: se
e
, então
.
-
. -
(regra da cadeia aplicada a ).
Aplicando produto:
Colocando em denominador comum
:
Observação alternativa: ao simplificar cuidadosamente obtém-se
se houver erro de contagem; vamos reconferir com derivada direta por quociente para garantir consistência.
Usando a regra do quociente para verificar (mais direta): se
, então
Portanto a expressão correta é
Passo 9
Derivada de
.
Usamos a regra do produto com
e
:
-
. -
.
Logo
Passo 10
Derivada de
.
Reescrevendo
e aplicando a regra do produto com
e
:
-
. -
.
Aplicando produto:
Colocando em denominador comum
:
Equivalente à forma
Passo 11
Assim temos a derivada vetorial geral
Passo 12
Agora a velocidade inicial
é simplesmente o vetor
avaliado em
. Vamos substituir
em cada componente:
- Para
: . - Para
: . - Para
: .
Portanto
Resposta
(a)
(b)