Calcule \iiint_{D}(x+y+z)^{2} d V, em que D é a região limitada pelo paraboloide z=\frac{x^{2}+y^{2}}{2 a} e pela esfera x^{2}+y^{2}+z^{2}=3 a^{2}.

Passo 1

O enunciado pede o cálculo de
\iiint_{D}(x+y+z)^{2}\,dV,
onde D é a região limitada pelo paraboloide
z=\frac{x^{2}+y^{2}}{2a}
e pela esfera
x^{2}+y^{2}+z^{2}=3a^{2}.
O conteúdo principal aqui é mudar para coordenadas cilíndricas (r,\theta,z) e aproveitar simetrias angulares.

Passo 2

Em coordenadas cilíndricas fazemos
x=r\cos\theta,\quad y=r\sin\theta,\quad dV=r\,dr\,d\theta\,dz.
O integrando fica
(x+y+z)^{2}=\bigl(r\cos\theta+r\sin\theta+z\bigr)^{2} =r^{2}(\cos\theta+\sin\theta)^{2}+2r\,z(\cos\theta+\sin\theta)+z^{2}.
A região D em projeção no plano xy vem de intersectar
z=\frac{r^{2}}{2a} \quad\text{com}\quad z=\sqrt{3a^{2}-r^{2}},
cuja igualdade ao quadrar dá
r^{2}=2a^{2},
logo 0\le r\le a\sqrt2, 0\le\theta\le2\pi, e para cada (r,\theta)
\frac{r^{2}}{2a}\le z\le \sqrt{3a^{2}-r^{2}}.

Passo 3

Separamos a integral em três termos, dizendo
I=\iiint_{D}(x+y+z)^{2}dV =I_{1}+I_{2}+I_{3},
onde
I_{1}=\int_{0}^{2\pi}\!\!\int_{0}^{a\sqrt2}\!\!\int_{r^{2}/(2a)}^{\sqrt{3a^{2}-r^{2}}} r^{2}(\cos\theta+\sin\theta)^{2}\;r\,dz\,dr\,d\theta,
I_{2}=\int_{0}^{2\pi}\!\!\int_{0}^{a\sqrt2}\!\!\int_{r^{2}/(2a)}^{\sqrt{3a^{2}-r^{2}}} 2r\,z\,(\cos\theta+\sin\theta)\;r\,dz\,dr\,d\theta,
I_{3}=\int_{0}^{2\pi}\!\!\int_{0}^{a\sqrt2}\!\!\int_{r^{2}/(2a)}^{\sqrt{3a^{2}-r^{2}}} z^{2}\;r\,dz\,dr\,d\theta.
Por simetria angular \displaystyle\int_{0}^{2\pi}(\cos\theta+\sin\theta)\,d\theta=0, logo I_{2}=0.

Passo 4

Cálculo de I_{1}:
I_{1} =\int_{0}^{2\pi}(\cos\theta+\sin\theta)^{2}d\theta \int_{0}^{a\sqrt2}r^{3}\Bigl[\sqrt{3a^{2}-r^{2}}-\frac{r^{2}}{2a}\Bigr]dr.
Como
\int_{0}^{2\pi}(\cos\theta+\sin\theta)^{2}d\theta=2\pi,
definimos
J_{1}=\int_{0}^{a\sqrt2}r^{3}\sqrt{3a^{2}-r^{2}}\,dr, \quad J_{2}=\int_{0}^{a\sqrt2}r^{3}\,\frac{r^{2}}{2a}\,dr =\frac{1}{2a}\,\frac{(a\sqrt2)^{6}}{6} =\frac{2}{3}a^{5}.
Com mudança t=r^{2} e depois u=3a^{2}-t obtemos
J_{1}=\frac{2}{5}a^{5}(3\sqrt3-2).
Logo
I_{1} =2\pi\bigl(J_{1}-J_{2}\bigr) =2\pi\Bigl[\frac{2}{5}a^{5}(3\sqrt3-2)-\frac{2}{3}a^{5}\Bigr] =\frac{4\pi a^{5}}{15}(9\sqrt3-11).

Passo 5

Cálculo de I_{3}:
I_{3} =2\pi\int_{0}^{a\sqrt2}r \Bigl[\frac{(\sqrt{3a^{2}-r^{2}})^{3}}{3} -\frac{(r^{2}/(2a))^{3}}{3}\Bigr]dr =\frac{2\pi}{3}\bigl(K_{1}-K_{2}\bigr),
onde
K_{1}=\int_{0}^{a\sqrt2}r\,(3a^{2}-r^{2})^{3/2}dr =\frac{1}{5}a^{5}(9\sqrt3-1), \quad K_{2}=\int_{0}^{a\sqrt2}r\,\frac{r^{6}}{8a^{3}}dr =\frac{1}{4}a^{5}.
Daí
I_{3} =\frac{2\pi}{3}\Bigl[\frac{1}{5}a^{5}(9\sqrt3-1)-\frac{1}{4}a^{5}\Bigr] =\frac{3\pi a^{5}}{10}(4\sqrt3-1).

Passo 6

Somando I=I_{1}+I_{3}:
I =\frac{4\pi a^{5}}{15}(9\sqrt3-11) +\frac{3\pi a^{5}}{10}(4\sqrt3-1) =\frac{\pi a^{5}}{30}\bigl(108\sqrt3-97\bigr).

Resposta

\boxed{\,\frac{\pi a^{5}}{30}\,\bigl(108\sqrt3 - 97\bigr)\,}.

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