Calcule
, em que
é a região limitada pelo paraboloide
e pela esfera
.
Passo 1
O enunciado pede o cálculo de
onde
é a região limitada pelo paraboloide
e pela esfera
O conteúdo principal aqui é mudar para coordenadas cilíndricas
e aproveitar simetrias angulares.
Passo 2
Em coordenadas cilíndricas fazemos
O integrando fica
A região
em projeção no plano
vem de intersectar
cuja igualdade ao quadrar dá
logo
,
, e para cada
Passo 3
Separamos a integral em três termos, dizendo
onde
Por simetria angular
, logo
.
Passo 4
Cálculo de
:
Como
definimos
Com mudança
e depois
obtemos
Logo
Passo 5
Cálculo de
:
onde
Daí
Passo 6
Somando
: