Esboce o gráfico da função f(x)=4 x^5-20 x^4 usando o roteiro visto em sala.

Passo 1

Beleza, vamos esboçar o gráfico da função $ f(x) = 4x^{5} - 20x^{4} $. Vamos usar conceitos de cálculo, como derivadas, para entender o comportamento da função. Precisaremos encontrar interceptos, pontos críticos, intervalos de crescimento e decrescimento, e a concavidade da função para desenhar o gráfico direitinho.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar os interceptos da função.
  • Intercepto com o eixo y: É onde $ x = 0 $.
    x = 0
    Então, o intercepto com o eixo y é $ (0, 0) $.
  • Intercepto com o eixo x: É onde $ f(x) = 0 $.
    f(0) = 4(0)^5 - 20(0)^4 = 0
    Então, os interceptos com o eixo x são $ (0, 0) $ e $ (5, 0) $.

Passo 3

Agora, vamos achar a primeira derivada para descobrir onde a função está crescendo ou decrescendo.
f'(x) = ddx(4x^5 - 20x^4) = 20x^4 - 80x^3
Fatorando:
f'(x) = 20x^3(x - 4)
Os pontos críticos são onde $ f’(x) = 0 $:
f'(x) = 0
Vamos analisar o sinal de $ f’(x) $ em intervalos:
  • Para $ x < 0 $, por exemplo, $ x = -1 $:
    20x^3(x - 4) = 0 Rightarrow x = 0 ou x = 4
  • Para $ 0 < x < 4 $, por exemplo, $ x = 2 $:
    f'(x)
  • Para $ x > 4 $, por exemplo, $ x = 5 $:
    x < 0

Passo 4

Vamos encontrar a segunda derivada para entender a concavidade da função.
f''(x) = ddx(20x^4 - 80x^3) = 80x^3 - 240x^2
Fatorando:
f''(x) = 80x^2(x - 3)
Os pontos de inflexão são onde $ f’’(x) = 0 $:
f''(x) = 0
Analisando a concavidade:
  • Para $ x < 0 $, ( f’’(x) > 0 \Rightarrow Concava para cima
  • Para $ 0 < x < 3 $, ( f’’(x) < 0 \Rightarrow Concava para baixo
  • Para $ x > 3 $, ( f’’(x) > 0 \Rightarrow Concava para cima

Passo 5

Vamos analisar o comportamento da função para x tendendo ao infinito.
  • Como o termo de maior grau é $ 4x^{5} $ e o coeficiente é positivo, quando $ x \to +\infty $, $ f(x) \to +\infty $.
  • Quando $ x \to -\infty $, $ f(x) \to -\infty $, já que a potência ímpar com coeficiente positivo inverte o sinal.

Resposta

Com todas essas informações, o gráfico da função $ f(x) = 4x^{5} - 20x^{4} $ passa por $ (0,0) $ e $ (5,0) $, é crescente para $ x < 0 $ e $ x > 4 $, decrescente entre $ 0 $ e $ 4 $, tem um ponto de inflexão em $ x = 3 $, e a concavidade muda conforme analisado. O esboço mostrará essas características, com a função indo de $ -\infty $ a $ +\infty $ conforme $ x $ varia.

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