Passo 1
Beleza, vamos analisar o que a questão está pedindo. Temos um sistema de equações diferenciais:
O conteúdo envolvido aqui é a resolução de sistemas de equações diferenciais lineares de primeira ordem. Para resolver, vamos precisar manipular as equações para encontrar expressões para $ y $ e $ z $ em função de $ x $.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar o sistema para facilitar a resolução. Observamos que ambas as equações têm os termos $ \frac{dy}{dx} + \frac{dz}{dx} $. Vamos chamar esse termo de $ W $, ou seja:
Agora, reescrevemos as equações substituindo $ W $:
Passo 3
Vamos subtrair a segunda equação da primeira para eliminar o $ W $:
Simplificando:
Isso resulta em:
Passo 4
Agora, temos uma relação entre $ y $ e $ z $:
Vamos usar essa expressão para substituir $ y $ em uma das equações originais. Vamos substituir na primeira equação:
Substituindo $ y $:
Passo 5
Vamos calcular as derivadas:
Isso simplifica para:
Passo 6
Agrupando termos semelhantes:
Simplificando:
Passo 7
Vamos isolar os termos com $ \frac{dz}{dx} $:
Dividindo ambos os lados por 2:
Passo 8
Agora, temos uma equação diferencial linear na forma:
Onde:
Para resolver, usamos o fator integrante $ \mu(x) $:
Passo 9
Multiplicamos toda a equação pelo fator integrante:
Simplificando os termos do lado direito:
Passo 10
A equação agora pode ser escrita como a derivada de $ \mu(x)z $:
Integrando ambos os lados em relação a $ x $:
Passo 11
Calculando as integrais:
Portanto:
Passo 12
Multiplicando ambos os lados por $ e^{\frac{5}{2}x} $ para isolar $ z $:
Passo 13
Agora que temos $ z $ em função de $ x $, lembramos da relação que achamos no Passo 4:
Substituindo $ z $:
Simplificando:
Resposta
A solução geral do sistema é:
Onde $ C $ é uma constante arbitrária.