ld yd x+d zd x-y-4 z=e^5 x d yd x+d zd x-2 y-3 z=e^2 x

Passo 1

Beleza, vamos analisar o que a questão está pedindo. Temos um sistema de equações diferenciais:
dydx + dzdx - y - 4z = e^5x dydx + dzdx - 2y - 3z = e^2x
O conteúdo envolvido aqui é a resolução de sistemas de equações diferenciais lineares de primeira ordem. Para resolver, vamos precisar manipular as equações para encontrar expressões para $ y $ e $ z $ em função de $ x $.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar o sistema para facilitar a resolução. Observamos que ambas as equações têm os termos $ \frac{dy}{dx} + \frac{dz}{dx} $. Vamos chamar esse termo de $ W $, ou seja:
dydx + dzdx
Agora, reescrevemos as equações substituindo $ W $:
W

Passo 3

Vamos subtrair a segunda equação da primeira para eliminar o $ W $:
W
Simplificando:
(W - y - 4z) - (W - 2y - 3z) = e^5x - e^2x
Isso resulta em:
(-y + 2y) + (-4z + 3z) = e^5x - e^2x

Passo 4

Agora, temos uma relação entre $ y $ e $ z $:
y
Vamos usar essa expressão para substituir $ y $ em uma das equações originais. Vamos substituir na primeira equação:
z
Substituindo $ y $:
y = z + e^5x - e^2x

Passo 5

Vamos calcular as derivadas:
ddx(z) + ddx(e^5x) - ddx(e^2x) + dzdx - z - e^5x + e^2x - 4z = e^5x
Isso simplifica para:
dzdx + 5e^5x - 2e^2x + dzdx - z - e^5x + e^2x - 4z = e^5x

Passo 6

Agrupando termos semelhantes:
2dzdx + (5e^5x - e^5x) + (-2e^2x + e^2x) - z - 4z = e^5x
Simplificando:
2dzdx + 4e^5x - e^2x - 5z = e^5x

Passo 7

Vamos isolar os termos com $ \frac{dz}{dx} $:
dzdx
Dividindo ambos os lados por 2:
2dzdx - 5z = e^5x + e^2x

Passo 8

Agora, temos uma equação diferencial linear na forma:
dzdx + P(x)z = Q(x)
Onde:
P(x) = -52, Q(x) = 12e^5x + 12e^2x
Para resolver, usamos o fator integrante $ \mu(x) $:
mu(x)

Passo 9

Multiplicamos toda a equação pelo fator integrante:
e^-52x dzdx - 52e^-52x z = 12e^-52x e^5x + 12e^-52x e^2x
Simplificando os termos do lado direito:
12e^52x + 12e^-12x

Passo 10

A equação agora pode ser escrita como a derivada de $ \mu(x)z $:
mu(x)z
Integrando ambos os lados em relação a $ x $:
ddx(e^-52x z) = 12e^52x + 12e^-12x

Passo 11

Calculando as integrais:
integral 12e^52x dx = 12 cdot 25 e^52x = 15e^52x
integral 12e^-12x dx = 12 cdot (-2)e^-12x = -e^-12x
Portanto:
e^-52x z = 15e^52x - e^-12x + C

Passo 12

Multiplicando ambos os lados por $ e^{\frac{5}{2}x} $ para isolar $ z $:
e^52x

Passo 13

Agora que temos $ z $ em função de $ x $, lembramos da relação que achamos no Passo 4:
z
Substituindo $ z $:
x
Simplificando:
y = z + e^5x - e^2x

Resposta

A solução geral do sistema é:
boxed z(x) = dfrac15e^5x - e^2x + C e^52x y(x) = dfrac65e^5x - 2e^2x + C e^52x
Onde $ C $ é uma constante arbitrária.

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