Região de integração: \{(x,y)\mid x^{2}+y^{2}\le 1\}, ou seja, o disco de raio 1 centrado na origem.
Integrando: x^{2}+y^{2}.
Objetivo: calcular o valor numérico da integral dupla.
Passo 2
Por que usar coordenadas polares? Em coordenadas polares usamos duas variáveis novas: \;r\ge 0\; (distância do ponto à origem) e \theta (ângulo). As fórmulas de mudança são
x = r\cos\theta,\qquad y = r\sin\theta.
Um motivo prático: a combinação x^{2}+y^{2} fica simples em polares:
x^{2}+y^{2}=r^{2}.
Além disso, a região é um disco, que em polares tem limites muito simples para r e \theta. Agora precisamos falar do elemento de área.
Passo 3
Elemento de área (Jacobiano). Quando fazemos a mudança (x,y)\mapsto(r,\theta), o elemento de área dA transforma-se em
dA = r\,dr\,d\theta.
Explicação intuitiva: um pequeno retângulo dr\times d\theta no espaço (r,\theta) corresponde a um setor com área aproximadamente r\,dr\,d\theta. Formalmente isso vem do determinante da matriz jacobiana, mas a ideia geométrica é suficiente aqui.
Passo 4
Transformando a integral: substituir x^{2}+y^{2}=r^{2} e dA=r\,dr\,d\theta. Assim o integrando \left(x^{2}+y^{2}\right)\,dA vira r^{2}\cdot r\,dr\,d\theta = r^{3}\,dr\,d\theta.