Calcule a integral usando coordenadas polares:
\iint_{x^{2}+y^{2} \leq 1}\left(x^{2}+y^{2}\right) d A

Passo 1

O enunciado dá a integral dupla sobre o disco unitário e pede que a calculemos:
\iint_{x^{2}+y^{2} \leq 1}\left(x^{2}+y^{2}\right)\,dA.
Informações relevantes:
  • Região de integração: \{(x,y)\mid x^{2}+y^{2}\le 1\}, ou seja, o disco de raio 1 centrado na origem.
  • Integrando: x^{2}+y^{2}.
  • Objetivo: calcular o valor numérico da integral dupla.

Passo 2

Por que usar coordenadas polares? Em coordenadas polares usamos duas variáveis novas: \;r\ge 0\; (distância do ponto à origem) e \theta (ângulo). As fórmulas de mudança são
x = r\cos\theta,\qquad y = r\sin\theta.
Um motivo prático: a combinação x^{2}+y^{2} fica simples em polares:
x^{2}+y^{2}=r^{2}.
Além disso, a região é um disco, que em polares tem limites muito simples para r e \theta. Agora precisamos falar do elemento de área.

Passo 3

Elemento de área (Jacobiano). Quando fazemos a mudança (x,y)\mapsto(r,\theta), o elemento de área dA transforma-se em
dA = r\,dr\,d\theta.
Explicação intuitiva: um pequeno retângulo dr\times d\theta no espaço (r,\theta) corresponde a um setor com área aproximadamente r\,dr\,d\theta. Formalmente isso vem do determinante da matriz jacobiana, mas a ideia geométrica é suficiente aqui.

Passo 4

Transformando a integral: substituir x^{2}+y^{2}=r^{2} e dA=r\,dr\,d\theta. Assim o integrando \left(x^{2}+y^{2}\right)\,dA vira r^{2}\cdot r\,dr\,d\theta = r^{3}\,dr\,d\theta.
Limites da região: como é o disco de raio 1,
0\le r\le 1,\qquad 0\le \theta\le 2\pi.
Portanto a integral fica
\iint_{x^{2}+y^{2}\le 1}\left(x^{2}+y^{2}\right)\,dA = \int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{1} r^{3}\,dr\,d\theta.

Passo 5

Calcular a integral interna em r:
\int_{0}^{1} r^{3}\,dr.
A primitiva de r^{3} é \dfrac{r^{4}}{4}. Avaliando de 0 a 1 temos
\int_{0}^{1} r^{3}\,dr = \left.\dfrac{r^{4}}{4}\right|_{0}^{1} = \dfrac{1}{4}.

Passo 6

Agora a integral em \theta:
\int_{0}^{2\pi} \dfrac{1}{4}\,d\theta = \dfrac{1}{4}\cdot\left.\theta\right|_{0}^{2\pi} = \dfrac{1}{4}\cdot 2\pi = \dfrac{\pi}{2}.

Resposta

\dfrac{\pi}{2}

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