Encontre o vetor unitário na direção de maior crescimento de f(x, y)= x^{2}+y^{2} no ponto (1,-1).

Passo 1

O enunciado dá uma função e um ponto e pede um vetor unitário com uma propriedade clara. Especificamente:
  • Função dada: f(x,y)=x^{2}+y^{2}.
  • Ponto dado: (1,-1).
  • O que se pede: encontrar o vetor unitário que aponta na direção de maior crescimento de f no ponto (1,-1).

Passo 2

Conceito-chave (sem resolver ainda): para uma função f:\mathbb{R}^{2}\to\mathbb{R}, o vetor que aponta na direção de maior crescimento é o gradiente \nabla f avaliado no ponto. Vou explicar o que é gradiente e por que ele dá a direção de maior crescimento.

Passo 3

O que é o gradiente? O gradiente é um vetor formado pelas derivadas parciais de f. Escrevemos:
\nabla f(x,y)=\left(\frac{\partial f}{\partial x}(x,y),\;\frac{\partial f}{\partial y}(x,y)\right).
Aqui:
  • \frac{\partial f}{\partial x} é a derivada de f em relação a x, mantendo y fixo.
  • \frac{\partial f}{\partial y} é a derivada de f em relação a y, mantendo x fixo.
    Essas derivadas parciais medem a taxa de variação de f nas direções dos eixos x e y, e o vetor que elas formam aponta onde f cresce mais rápido localmente.

Passo 4

Calcular as derivadas parciais de f(x,y)=x^{2}+y^{2}.
  • Para \frac{\partial f}{\partial x}: trate y como constante e derive x^{2}. Assim
\frac{\partial f}{\partial x}(x,y)=2x.
  • Para \frac{\partial f}{\partial y}: trate x como constante e derive y^{2}. Assim
\frac{\partial f}{\partial y}(x,y)=2y.
Portanto o gradiente geral é
\nabla f(x,y)=\left(2x,\;2y\right).

Passo 5

Avaliar o gradiente no ponto (1,-1). Substituindo x=1 e y=-1 em \nabla f:
\nabla f(1,-1)=\left(2\cdot 1,\;2\cdot(-1)\right)=\left(2,\;-2\right).
Esse vetor \left(2,-2\right) aponta na direção de maior crescimento de f naquele ponto, mas ainda não é unitário (ou seja, sua norma não é 1).

Passo 6

Precisamos transformar \nabla f(1,-1) num vetor unitário, isto é, dividir pelo seu comprimento (norma). Primeiro calculamos a norma do vetor \left(2,-2\right):
\|\nabla f(1,-1)\|=\sqrt{2^{2}+(-2)^{2}}=\sqrt{4+4}=\sqrt{8}=2\sqrt{2}.
Agora o vetor unitário na direção do gradiente é o gradiente dividido pela sua norma:
u=\frac{\nabla f(1,-1)}{\|\nabla f(1,-1)\|}=\frac{1}{2\sqrt{2}}\,(2,-2).

Passo 7

Simplificar a expressão para o vetor unitário:
u=\left(\frac{2}{2\sqrt{2}},\;-\frac{2}{2\sqrt{2}}\right)=\left(\frac{1}{\sqrt{2}},\;-\frac{1}{\sqrt{2}}\right).
Esse é o vetor unitário que aponta na direção de maior crescimento de f em (1,-1).

Resposta

\left(\dfrac{1}{\sqrt{2}},\;-\dfrac{1}{\sqrt{2}}\right)

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