Encontre o vetor unitário na direção de maior crescimento de
no ponto
.
Passo 1
O enunciado dá uma função e um ponto e pede um vetor unitário com uma propriedade clara. Especificamente:
- Função dada:
. - Ponto dado:
. - O que se pede: encontrar o vetor unitário que aponta na direção de maior crescimento de
no ponto .
Passo 2
Conceito-chave (sem resolver ainda): para uma função
, o vetor que aponta na direção de maior crescimento é o gradiente
avaliado no ponto. Vou explicar o que é gradiente e por que ele dá a direção de maior crescimento.
Passo 3
O que é o gradiente? O gradiente é um vetor formado pelas derivadas parciais de
. Escrevemos:
Aqui:
-
é a derivada de em relação a , mantendo fixo. -
é a derivada de em relação a , mantendo fixo.
Essas derivadas parciais medem a taxa de variação denas direções dos eixos e , e o vetor que elas formam aponta onde cresce mais rápido localmente.
Passo 4
Calcular as derivadas parciais de
.
- Para
: trate como constante e derive . Assim
- Para
: trate como constante e derive . Assim
Portanto o gradiente geral é
Passo 5
Avaliar o gradiente no ponto
. Substituindo
e
em
:
Esse vetor
aponta na direção de maior crescimento de
naquele ponto, mas ainda não é unitário (ou seja, sua norma não é
).
Passo 6
Precisamos transformar
num vetor unitário, isto é, dividir pelo seu comprimento (norma). Primeiro calculamos a norma do vetor
:
Agora o vetor unitário na direção do gradiente é o gradiente dividido pela sua norma:
Passo 7
Simplificar a expressão para o vetor unitário:
Esse é o vetor unitário que aponta na direção de maior crescimento de
em
.