Calcule a integral
\int_{0}^{1} \int_{0}^{\sqrt{1-y^{2}}}\left(x^{2}+y^{2}\right)^{3 / 2} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y

Passo 1

O enunciado pede o cálculo da integral dupla
\int_{0}^{1} \int_{0}^{\sqrt{1-y^{2}}}\left(x^{2}+y^{2}\right)^{3/2}\,\mathrm{d}x\,\mathrm{d}y.
Informações dadas e perguntas claras:
  • A integral é sobre as variáveis x e y.
  • Os limites são 0\le y\le1 e, para cada y, 0\le x\le\sqrt{1-y^{2}}.
  • O integrando é \left(x^{2}+y^{2}\right)^{3/2}.
  • Objetivo: calcular o valor numérico dessa integral dupla.

Passo 2

Identificar a região de integração no plano xy. Os limites implicam:
  • y varia de 0 a 1.
  • Para cada y nessa faixa, x varia de 0 até \sqrt{1-y^{2}}, ou seja x\ge0 e x^{2}+y^{2}\le1.
Portanto a região de integração é o quarto de um disco de raio 1 no primeiro quadrante:
\{(x,y)\mid x\ge0,\\ y\ge0,\\ x^{2}+y^{2}\le1\}.

Passo 3

Escolher coordenadas mais adequadas para a região e o integrando. Observação:
  • O integrando depende apenas de x^{2}+y^{2}, o que sugere usar coordenadas polares.
    Definição das coordenadas polares:
x = r\cos\theta,\qquad y = r\sin\theta,
onde r\ge0 é a distância ao origem e \theta é o ângulo medido a partir do eixo x positivo.

Passo 4

Elemento de área e transformação do integrando. Ao passar para polares:
  • A área elementar transforma-se segundo o jacobiano das coordenadas polares:
\mathrm{d}x\,\mathrm{d}y = r\,\mathrm{d}r\,\mathrm{d}\theta.
(Explicação curta: um pequeno retângulo em r,\theta tem lados aproximados \mathrm{d}r e r\,\mathrm{d}\theta, então a área é r\,\mathrm{d}r\,\mathrm{d}\theta.)
  • O integrando \left(x^{2}+y^{2}\right)^{3/2} em polares fica
\left(r^{2}\right)^{3/2}=r^{3}.
Logo o integrando completo com o jacobiano é r^{3}\cdot r = r^{4}.

Passo 5

Determinar os limites em coordenadas polares para a região (quarto de disco de raio 1):
  • Como estamos no primeiro quadrante, \theta varia de 0 a \tfrac{\pi}{2}.
  • Como o raio do disco é 1, r varia de 0 a 1.
Portanto a integral original se transforma em
\int_{\theta=0}^{\pi/2}\int_{r=0}^{1} r^{4}\,\mathrm{d}r\,\mathrm{d}\theta.

Passo 6

Calcular a integral em r e depois em \theta. Primeiro a integral em r:
\int_{0}^{1} r^{4}\,\mathrm{d}r = \left[\frac{r^{5}}{5}\right]_{0}^{1} = \frac{1}{5}.
Agora integrar em \theta:
\int_{0}^{\pi/2} \frac{1}{5}\,\mathrm{d}\theta = \frac{1}{5}\left[\theta\right]_{0}^{\pi/2} = \frac{1}{5}\cdot\frac{\pi}{2} = \frac{\pi}{10}.

Resposta

\dfrac{\pi}{10}

Exercícios relacionados