Calcule a integral
Passo 1
O enunciado pede o cálculo da integral dupla
Informações dadas e perguntas claras:
- A integral é sobre as variáveis
e . - Os limites são
e, para cada , . - O integrando é
. - Objetivo: calcular o valor numérico dessa integral dupla.
Passo 2
Identificar a região de integração no plano
. Os limites implicam:
-
varia de a . - Para cada
nessa faixa, varia de até , ou seja e .
Portanto a região de integração é o quarto de um disco de raio
no primeiro quadrante:
Passo 3
Escolher coordenadas mais adequadas para a região e o integrando. Observação:
- O integrando depende apenas de
, o que sugere usar coordenadas polares.
Definição das coordenadas polares:
onde
é a distância ao origem e
é o ângulo medido a partir do eixo
positivo.
Passo 4
Elemento de área e transformação do integrando. Ao passar para polares:
- A área elementar transforma-se segundo o jacobiano das coordenadas polares:
(Explicação curta: um pequeno retângulo em
tem lados aproximados
e
, então a área é
.)
- O integrando
em polares fica
Logo o integrando completo com o jacobiano é
.
Passo 5
Determinar os limites em coordenadas polares para a região (quarto de disco de raio
):
- Como estamos no primeiro quadrante,
varia de a . - Como o raio do disco é
, varia de a .
Portanto a integral original se transforma em
Passo 6
Calcular a integral em
e depois em
. Primeiro a integral em
:
Agora integrar em
: