Exercício 6 - Um circuito possui um capacitor de
, um resistor de
e um indutor de 10 H , em série. A carga inicial no capaciotr é zero. No instante
conecta-se o circuito a uma bateria cuja tensão é de 12 V e o circuito é fechado.
a) Determinar a carga no capacitor em qualquer instante
.
b) Determinar a carga no capacitor quando
.
c) Esboce o gráfico da solução obtida.
a) Determinar a carga no capacitor em qualquer instante
b) Determinar a carga no capacitor quando
c) Esboce o gráfico da solução obtida.
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado nos dá e o que pede.
-
Dados (peguei estes números do enunciado):
- Capacitância:
. - Resistência:
. - Indutância:
. - Fonte (tensão contínua):
. - Carga inicial no capacitor:
. - O circuito é fechado em
.
- Capacitância:
-
O enunciado pede:
(a) determinar a carga no capacitor para qualquer, ou seja ;
(b) determinar a carga no capacitor quando, ou seja ;
(c) esboçar o gráfico da solução encontrada (descrever a forma do gráfico).
Passo 2
Montar a equação diferencial para
usando as leis de Kirchhoff e a relação corrente-carga.
Explicando fisicamente e passo a passo:
- Em série, a soma algébrica das tensões no indutor (
), resistor ( ) e capacitor ( ) deve ser igual à tensão da bateria . - A tensão no indutor é
, onde é a corrente instantânea. - A tensão no resistor é
. - A tensão no capacitor é
, pois é a carga no capacitor e . - A relação entre corrente e carga é
.
Portanto a equação de malha é
Agora substituímos os valores numéricos (cada termo explicado):
-
, , , .
Logo
Dividindo por
para simplificar:
Observação sobre condições iniciais:
- O enunciado dá
. - A corrente inicial
é zero porque antes de fechar o circuito não havia corrente e a corrente num indutor não pode mudar instantaneamente ao fechar a chave (a corrente no indutor é contínua). Assim .
Passo 3
Resolver a equação homogênea associada para entender a solução geral.
A homogênea é
Procuramos soluções do tipo
. Substituindo obtemos a equação característica
Resolvendo por fatoração:
portanto as raízes são
e
. Como são raízes reais e distintas, a solução geral da homogênea é
onde
e
são constantes a determinar pelas condições iniciais.
Explicação didática rápida: raízes reais negativas significam resposta transiente que decai exponencialmente (sem oscilações).
Passo 4
Encontrar uma solução particular da equação completa.
O termo forçante é constante (
), então procuramos uma solução particular constante: seja
(constante). Substituindo em
obtemos
Portanto uma solução particular é
(coulombs).
Passo 5
Montar a solução geral e aplicar as condições iniciais para determinar
e
.
A solução geral é soma da homogênea com a particular:
Aplicamos as condições iniciais.
-
dá
-
. Assim dá
Dividindo por
:
, logo
.
Substituindo
em
:
Então
.
Passo 6
Escrever a solução final simplificada e checar rapidamente os valores iniciais.
Substituindo
e
em
:
Fatorando
:
Checagens rápidas:
-
OK. -
(derivando a forma fatorada obtém-se zero em ) OK. - Como a solução é soma de exponenciais decrescentes mais uma constante, o comportamento físico faz sentido.
Passo 7
Determinar
quando
(parte b) e interpretar o comportamento do circuito.
Como
, temos
Interpretação física: no regime estacionário com fonte DC o indutor se comporta como curto (corrente constante) e o capacitor alcança uma carga tal que sua tensão
equilibra a fonte reduzida pela queda no resistor quando a corrente final existe; neste caso a solução dá carga final
.
Passo 8
Esboço (descrição) do gráfico de
— parte (c).
Descrição do esboço:
- Eixo vertical:
em coulombs, eixo horizontal: em segundos. - Começa em
com inclinação horizontal (slope) zero, pois . - A função cresce monotonicamente e assintoticamente para
. - Não há oscilações (sem sinal trocado) porque as raízes da homogênea são reais negativas (
e ) — resposta superamortecida sem oscilações. - Forma explícita:
: curva que sobe devagar inicialmente (tangente horizontal em ), depois acelera um pouco, e finalmente se aproxima assintoticamente de .
Resposta
(a)
.
(b)
(c) Gráfico:
parte de
com inclinação nula, cresce monotonicamente sem oscilações e tende assintoticamente para
.