Exercício 6 - Um circuito possui um capacitor de 0,125 \times 10^{-1} \mathrm{~F}, um resistor de 60 \Omega e um indutor de 10 H , em série. A carga inicial no capaciotr é zero. No instante t=0 conecta-se o circuito a uma bateria cuja tensão é de 12 V e o circuito é fechado.
a) Determinar a carga no capacitor em qualquer instante t>0.
b) Determinar a carga no capacitor quando t \rightarrow+\infty.
c) Esboce o gráfico da solução obtida.

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado nos dá e o que pede.
  • Dados (peguei estes números do enunciado):
    • Capacitância: C = 0,125\times10^{-1}\\ \mathrm{F} = 0,0125\\ \mathrm{F}.
    • Resistência: R = 60\\ \Omega.
    • Indutância: L = 10\\ \mathrm{H}.
    • Fonte (tensão contínua): V_0 = 12\\ \mathrm{V}.
    • Carga inicial no capacitor: q(0)=0.
    • O circuito é fechado em t=0.
  • O enunciado pede:
    (a) determinar a carga no capacitor para qualquer t>0, ou seja q(t);
    (b) determinar a carga no capacitor quando t\to+\infty, ou seja \lim_{t\to\infty} q(t);
    (c) esboçar o gráfico da solução encontrada (descrever a forma do gráfico).

Passo 2

Montar a equação diferencial para q(t) usando as leis de Kirchhoff e a relação corrente-carga.
Explicando fisicamente e passo a passo:
  • Em série, a soma algébrica das tensões no indutor ( L), resistor ( R) e capacitor ( C) deve ser igual à tensão da bateria V_0.
  • A tensão no indutor é L\,\dfrac{di}{dt}, onde i(t) é a corrente instantânea.
  • A tensão no resistor é R\,i(t).
  • A tensão no capacitor é \dfrac{q(t)}{C}, pois q é a carga no capacitor e V_C=q/C.
  • A relação entre corrente e carga é i(t)=\dfrac{dq}{dt}=q'(t).
Portanto a equação de malha é
L\,q''(t) + R\,q'(t) + \frac{1}{C}\,q(t) = V_0.
Agora substituímos os valores numéricos (cada termo explicado):
  • L=10, R=60, 1/C = 1/0,0125 = 80, V_0=12.
    Logo
10\,q'' + 60\,q' + 80\,q = 12.
Dividindo por 10 para simplificar:
q'' + 6\,q' + 8\,q = 1,2.
Observação sobre condições iniciais:
  • O enunciado dá q(0)=0.
  • A corrente inicial i(0)=q'(0) é zero porque antes de fechar o circuito não havia corrente e a corrente num indutor não pode mudar instantaneamente ao fechar a chave (a corrente no indutor é contínua). Assim q'(0)=0.

Passo 3

Resolver a equação homogênea associada para entender a solução geral.
A homogênea é
q_h'' + 6 q_h' + 8 q_h = 0.
Procuramos soluções do tipo q_h(t)=e^{rt}. Substituindo obtemos a equação característica
r^2 + 6r + 8 = 0.
Resolvendo por fatoração:
r^2 + 6r + 8 = (r+2)(r+4) = 0,
portanto as raízes são r=-2 e r=-4. Como são raízes reais e distintas, a solução geral da homogênea é
q_h(t) = A e^{-2t} + B e^{-4t},
onde A e B são constantes a determinar pelas condições iniciais.
Explicação didática rápida: raízes reais negativas significam resposta transiente que decai exponencialmente (sem oscilações).

Passo 4

Encontrar uma solução particular da equação completa.
O termo forçante é constante ( 1,2), então procuramos uma solução particular constante: seja q_p(t)=q_p (constante). Substituindo em q''+6q'+8q=1,2 obtemos
8\,q_p = 1,2 \quad\Rightarrow\quad q_p = \frac{1,2}{8} = 0,15.
Portanto uma solução particular é q_p = 0,15 (coulombs).

Passo 5

Montar a solução geral e aplicar as condições iniciais para determinar A e B.
A solução geral é soma da homogênea com a particular:
q(t) = 0,15 + A e^{-2t} + B e^{-4t}.
Aplicamos as condições iniciais.
  1. q(0)=0
0 = 0,15 + A + B \quad\Rightarrow\quad A + B = -0,15.
  1. q'(t) = -2A e^{-2t} -4B e^{-4t}. Assim q'(0)=0
0 = -2A -4B \quad\Rightarrow\quad -2A -4B = 0.
Dividindo por -2: A + 2B = 0, logo A = -2B.
Substituindo A=-2B em A+B=-0,15:
-2B + B = -0,15 \quad\Rightarrow\quad -B = -0,15 \quad\Rightarrow\quad B = 0,15.
Então A = -2B = -0,30.

Passo 6

Escrever a solução final simplificada e checar rapidamente os valores iniciais.
Substituindo A e B em q(t):
q(t) = 0,15 -0,30\,e^{-2t} + 0,15\,e^{-4t}.
Fatorando 0,15:
q(t) = 0,15\bigl(1 - 2e^{-2t} + e^{-4t}\bigr) = 0,15\bigl(1 - e^{-2t}\bigr)^2.
Checagens rápidas:
  • q(0)=0,15(1-1)^2 = 0 OK.
  • q'(0)=0 (derivando a forma fatorada obtém-se zero em t=0) OK.
  • Como a solução é soma de exponenciais decrescentes mais uma constante, o comportamento físico faz sentido.

Passo 7

Determinar q(t) quando t\to+\infty (parte b) e interpretar o comportamento do circuito.
Como \lim_{t\to\infty} e^{-2t} = \lim_{t\to\infty} e^{-4t} = 0, temos
\lim_{t\to\infty} q(t) = 0,15.
Interpretação física: no regime estacionário com fonte DC o indutor se comporta como curto (corrente constante) e o capacitor alcança uma carga tal que sua tensão q/C equilibra a fonte reduzida pela queda no resistor quando a corrente final existe; neste caso a solução dá carga final 0,15\\ \mathrm{C}.

Passo 8

Esboço (descrição) do gráfico de q(t) — parte (c).
Descrição do esboço:
  • Eixo vertical: q(t) em coulombs, eixo horizontal: t em segundos.
  • Começa em q(0)=0 com inclinação horizontal (slope) zero, pois q'(0)=0.
  • A função cresce monotonicamente e assintoticamente para q=0,15.
  • Não há oscilações (sem sinal trocado) porque as raízes da homogênea são reais negativas ( -2 e -4) — resposta superamortecida sem oscilações.
  • Forma explícita: q(t)=0,15(1-e^{-2t})^2: curva que sobe devagar inicialmente (tangente horizontal em t=0), depois acelera um pouco, e finalmente se aproxima assintoticamente de 0,15.

Resposta

(a) \displaystyle q(t)=0,15-0,30\,e^{-2t}+0,15\,e^{-4t} = 0,15\bigl(1-e^{-2t}\bigr)^2.
(b) \displaystyle \lim_{t\to\infty} q(t)=0,15\\ \mathrm{C}.
(c) Gráfico: q(t) parte de 0 com inclinação nula, cresce monotonicamente sem oscilações e tende assintoticamente para 0,15\\ \mathrm{C}.

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