calculo \iint_{B} x d x d y, onde
.
Passo 1
O enunciado pede calcular a integral dupla
onde
é o conjunto
Informações relevantes dadas pelo enunciado:
- A região
é descrita pela desigualdade . - A função integranda é
.
O objetivo é calcular o valor numérico da integral dupla sobre essa região.
Passo 2
Entender a região
. Vou manipular a desigualdade para reconhecer a forma geométrica:
coloco todos os termos de um lado:
Completo o quadrado em
:
então a desigualdade fica
Isto mostra que
é o disco de centro
e raio
. Essa descrição geométrica já dá a forma da região: um círculo deslocado para a direita.
Passo 3
Escolher coordenadas convenientes. Para discos e círculos é natural usar coordenadas polares. Faço a mudança
com
e
adequado. Na mudança para coordenadas polares o elemento de área transforma-se como
Explico brevemente por que: uma pequena variação
e
produz um paralelogramo com área aproximada
(comprimento radial
vezes comprimento angular
) — por isso o fator
(o jacobiano).
Passo 4
Expressar a desigualdade da região em polares. Substituo
e
na desigualdade original:
Como
, posso dividir por
(o caso
está incluído):
Para que exista
satisfazendo
é necessário
. Assim
varia de
até
. Portanto os limites da região em polares são
Passo 5
Escrever a integral na nova variável. A integranda
vira
e
vira
. Assim a integral é
Simplifico o integrando:
logo
Passo 6
Calcular a integral interna em
. Integro em
primeiro:
Portanto a integral dupla reduz-se a
Passo 7
Aproveitar simetria para simplificar. A função
é par (mesma para
e
), então
Logo
Passo 8
Calcular
. Uso a identidade de redução:
portanto
E novamente
. Substituindo e simplificando:
Agora integro de
a
:
As integrais das cossenos dão senos avaliados nas extremidades:
Portanto sobra apenas a constante:
Passo 9
Voltar à integral total e finalizar: