calculo \iint_{B} x d x d y, onde B=\left\{(x, y) \mid x^{2}+y^{2} \leq x\right\}.

Passo 1

O enunciado pede calcular a integral dupla
\iint_{B} x\,dx\,dy,
onde B é o conjunto
B=\{(x,y)\mid x^{2}+y^{2}\le x\}.
Informações relevantes dadas pelo enunciado:
  • A região B é descrita pela desigualdade x^{2}+y^{2}\le x.
  • A função integranda é x.
    O objetivo é calcular o valor numérico da integral dupla sobre essa região.

Passo 2

Entender a região B. Vou manipular a desigualdade para reconhecer a forma geométrica:
x^{2}+y^{2}\le x
coloco todos os termos de um lado:
x^{2}-x+y^{2}\le 0.
Completo o quadrado em x:
x^{2}-x = \left(x-\tfrac{1}{2}\right)^{2}-\tfrac{1}{4},
então a desigualdade fica
\left(x-\tfrac{1}{2}\right)^{2}+y^{2}\le \tfrac{1}{4}.
Isto mostra que B é o disco de centro \left(\tfrac{1}{2},0\right) e raio \tfrac{1}{2}. Essa descrição geométrica já dá a forma da região: um círculo deslocado para a direita.

Passo 3

Escolher coordenadas convenientes. Para discos e círculos é natural usar coordenadas polares. Faço a mudança
x=r\cos\theta,\qquad y=r\sin\theta,
com r\ge 0 e \theta adequado. Na mudança para coordenadas polares o elemento de área transforma-se como
dx\,dy = r\,dr\,d\theta.
Explico brevemente por que: uma pequena variação dr e d\theta produz um paralelogramo com área aproximada r\,dr\,d\theta (comprimento radial dr vezes comprimento angular r\,d\theta) — por isso o fator r (o jacobiano).

Passo 4

Expressar a desigualdade da região em polares. Substituo x e y na desigualdade original:
x^{2}+y^{2}\le x \quad\Longrightarrow\quad r^{2}\le r\cos\theta.
Como r\ge 0, posso dividir por r (o caso r=0 está incluído):
r \le \cos\theta.
Para que exista r\ge 0 satisfazendo r\le\cos\theta é necessário \cos\theta\ge 0. Assim \theta varia de -\tfrac{\pi}{2} até \tfrac{\pi}{2}. Portanto os limites da região em polares são
\theta\in\left[-\tfrac{\pi}{2},\tfrac{\pi}{2}\right],\qquad r\in[0,\cos\theta].

Passo 5

Escrever a integral na nova variável. A integranda x vira r\cos\theta e dx\,dy vira r\,dr\,d\theta. Assim a integral é
\iint_{B} x\,dx\,dy = \int_{-\tfrac{\pi}{2}}^{\tfrac{\pi}{2}}\int_{0}^{\cos\theta} (r\cos\theta)\,(r\,dr\,d\theta).
Simplifico o integrando:
(r\cos\theta)(r)=r^{2}\cos\theta,
logo
\iint_{B} x\,dx\,dy = \int_{-\tfrac{\pi}{2}}^{\tfrac{\pi}{2}}\int_{0}^{\cos\theta} r^{2}\cos\theta\,dr\,d\theta.

Passo 6

Calcular a integral interna em r. Integro em r primeiro:
\int_{0}^{\cos\theta} r^{2}\cos\theta\,dr = \cos\theta\int_{0}^{\cos\theta} r^{2}\,dr = \cos\theta\left[\frac{r^{3}}{3}\right]_{0}^{\cos\theta} = \frac{\cos\theta\cdot\cos^{3}\theta}{3} = \frac{\cos^{4}\theta}{3}.
Portanto a integral dupla reduz-se a
\iint_{B} x\,dx\,dy = \frac{1}{3}\int_{-\tfrac{\pi}{2}}^{\tfrac{\pi}{2}}\cos^{4}\theta\,d\theta.

Passo 7

Aproveitar simetria para simplificar. A função \cos^{4}\theta é par (mesma para \theta e -\theta), então
\int_{-\tfrac{\pi}{2}}^{\tfrac{\pi}{2}}\cos^{4}\theta\,d\theta = 2\int_{0}^{\tfrac{\pi}{2}}\cos^{4}\theta\,d\theta.
Logo
\iint_{B} x\,dx\,dy = \frac{2}{3}\int_{0}^{\tfrac{\pi}{2}}\cos^{4}\theta\,d\theta.

Passo 8

Calcular \displaystyle \int_{0}^{\tfrac{\pi}{2}}\cos^{4}\theta\,d\theta. Uso a identidade de redução:
\cos^{2}\theta = \tfrac{1+\cos 2\theta}{2},
portanto
\cos^{4}\theta = \left(\cos^{2}\theta\right)^{2} = \left(\tfrac{1+\cos 2\theta}{2}\right)^{2} = \tfrac{1}{4}\bigl(1+2\cos 2\theta+\cos^{2}2\theta\bigr).
E novamente \cos^{2}2\theta=\tfrac{1+\cos 4\theta}{2}. Substituindo e simplificando:
\cos^{4}\theta = \tfrac{3}{8}+\tfrac{1}{2}\cos 2\theta+\tfrac{1}{8}\cos 4\theta.
Agora integro de 0 a \tfrac{\pi}{2}:
\int_{0}^{\tfrac{\pi}{2}}\cos^{4}\theta\,d\theta = \int_{0}^{\tfrac{\pi}{2}}\left(\tfrac{3}{8}+\tfrac{1}{2}\cos 2\theta+\tfrac{1}{8}\cos 4\theta\right)d\theta.
As integrais das cossenos dão senos avaliados nas extremidades:
\int_{0}^{\tfrac{\pi}{2}}\cos 2\theta\,d\theta = \left[\tfrac{1}{2}\sin 2\theta\right]_{0}^{\tfrac{\pi}{2}}=0, \qquad \int_{0}^{\tfrac{\pi}{2}}\cos 4\theta\,d\theta = \left[\tfrac{1}{4}\sin 4\theta\right]_{0}^{\tfrac{\pi}{2}}=0.
Portanto sobra apenas a constante:
\int_{0}^{\tfrac{\pi}{2}}\cos^{4}\theta\,d\theta = \tfrac{3}{8}\cdot \tfrac{\pi}{2} = \tfrac{3\pi}{16}.

Passo 9

Voltar à integral total e finalizar:
\iint_{B} x\,dx\,dy = \frac{2}{3}\cdot \frac{3\pi}{16} = \frac{2\pi}{16} = \frac{\pi}{8}.

Resposta

\dfrac{\pi}{8}

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